Équation aux différences

En mathématiques, une équation aux différences est l'analogue d'une équation différentielle, où les dérivées sont remplacées par des opérateurs de différence finie.

Fonctions d'une variable

À l'aide de l'opérateur :

$\Delta :a_{n}\mapsto a_{n+1}-a_{n}$

et de ses puissances :

$\Delta ^{2}:a_{n}\mapsto a_{n+2}-2\,a_{n+1}+a_{n}$, etc.,

des dérivées comme ${\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} t}}$ et ${\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}}$ sont remplacées par ${\frac {\Delta T_{n}}{\Delta t_{n}}}$ et ${\frac {\Delta ^{2}T_{n}}{(\Delta t_{n})^{2}}}$, où l'on prend généralement $\Delta t_{n}$ constant (noté simplement $\Delta t$).

Fonctions de plusieurs variables

De manière similaire, une équation aux dérivées partielles comme :

${\frac {\partial T}{\partial t}}=\kappa {\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}$,

portant sur la fonction inconnue $T(x,t)$, est remplacée par l'équation aux différences :

${\frac {T_{m,n+1}-T_{m,n}}{\Delta t}}=\kappa {\frac {T_{m+2,n}-2\,T_{m+1,n}+T_{m,n}}{(\Delta x)^{2}}}$,

qui porte sur les éléments $T_{m,n}$ d'une double suite (dans l'espace et dans le temps).

Bibliographie

• (en) Paul M. Batchelder, An introduction to linear difference equations, Dover Publications, 1967 (1^re éd. 1927)
• (en) Kenneth S. Miller, Linear difference equations, W. A. Benjamin, 1968