Utilisateur:Dodeluc/Les équations de Jefimenko

En électromagnétisme, les équations de Jefimenko, nommées d'après Oleg D. Jefimenko (en), donnent le champ électrique et le champ magnétique dû à une distribution de charges électriques et de courant électrique dans l'espace. Elles prennent en compte le retard dû à la propagation (temps retardé) des champs en raison de la limite finie de la vitesse de la lumière et des effets relativistes. Elles peuvent donc être utilisées pour des charges et des courants en déplacement. Elles sont les solutions générales des équations de Maxwell pour n'importe quelle distribution arbitraire de charges et de courants.

Les équations

Les champs électrique et magnétique

Les vecteurs position r et r' sont utilisés dans le calcul

Les équations de Jefimenko donnent le champ E et le champ B produits par une charge arbitraire ou une distribution de courant, de densité de charge ρ et de densité de courant J :

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \left[\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}c}}{\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right)(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')-{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ',$

$\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}c}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ',$

où r' est un point dans la distribution de charge, r est un point dans l'espace, et

$t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}$

est le temps retardé (en). Il y a des expressions similaires pour D et H.

Ces équations sont la généralisation, dépendant du temps (électrodynamique), de la loi de Coulomb et de la loi de Biot-Savart, qui étaient à l'origine vraies uniquement pour les champs en électrostatique et en magnétostatique ainsi que pour les courants continus.

Les potentiels retardés comme origine

Les équations de Jefimenko peuvent être déduites à partir des potentiels retardé φ et A :

${\begin{aligned}&\varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ',\\&\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\dfrac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ',\end{aligned}}$

qui sont les solutions des équations de Maxwell formulées sous forme des potentiels en remplaçant φ et A dans les équations de E et B en fonction des potentiels (potentiels électromagnétiques) :

$\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$

Enfin en utilisant la relation :

$c^{2}={\frac {1}{\epsilon _{0}\mu _{0}}}$

on trouve les champs E et B en fonction des sources c'est à dire les densités de charge ρ et les densités de courant J et non plus en fonction des potentiels φ et A.

Discussion

Une interprétation largement répendue des équations de Maxwell dit que des champs électriques et magnétiques variables s'engendrent l'un l'autre dans l'espace et donc donne naissance à des ondes électromagnétiques qui se propagent (électromagnétisme). Néanmoins, les équations de Jefimenko suggèrent une autre explication. Jefimenko disait : « […] ni les équations de Maxwell, ni leurs solutions, ne montrent l'existence de lien causal entre le champ électrique et magnétique. En conséquence, l'on doit conclure que le champ électromagnétique est une entité mixte qui possède toujours une composante électrique et magnétique créées simultanément par leurs sources communes à savoir des charges et des courants électriques variables ».

McDonald dit que les équations de Jefimenko semblent être apparues pour la première fois en 1962 dans la seconde édition du livre « Classical Electricity and Magnetism » de Panofsky et Phillips. Cependant David Griffiths clarifie cela comme ceci : « la première apparition explicite de ces équations dont j'ai connaissance sont due à Oleg Jefimenko en 1966 » et il considère les équations du livre de Panofsky et Phillips comme seulement « fort proches ».

Les caractéristiques essentielles des équations de Jefimenko se voient dans la partie droite ou apparaît le temps retardé ce qui reflète la causalité de ces équations. En d'autre mots, la partie gauche des équations sont en réalité causées par la partie droite, contrairement aux équations différentielles de Maxwell ou les deux cotés ont lieu en même temps. Dans les équations de Maxwell il ni a pas de doute que les deux côtés des équations sont égales l'une et l'autre mais comme Jefimenko l'indique : « […] comme chacune de ces équations relient des quantités simultanées dans le temps, aucune de ces équations ne peuvent représenter une relation causale ». Une autre caractéristique des équations de Jefimenko est que l'expression de E ne dépend pas de B et vice versa. En conséquence il est impossible que les champs E et B se créent l'un l'autre. Ce sont les densités de charge et les courants qui les créent.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Jefimenko's equations » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• (en) Oleg D. Jefimenko, Electricity and Magnetism : An Introduction to the Theory of Electric and Magnetic Fields, New-York, Appleton-Century-Crofts, 1966, 1^re éd.
• (en) Oleg D. Jefimenko, Electricity and Magnetism : An Introduction to the Theory of Electric and Magnetic Fields, Star City, Electret Scientific, 1989, 2^e éd. (ISBN 978-0-917406-08-9).
• (en) Oleg D. Jefimenko, Causality Electromagnetic Induction and Gravitation, Star City, Electret Scientific, 2000, 2^e éd. (ISBN 0-917406-23-0).

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