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Bac à sable

En théorie cinétique des gaz, la loi de distribution de vitesses de Maxwell quantifie la répartition des vitesses entre les différentes particules dans un gaz à l'équilibre thermodynamique global à la température uniforme, cette répartition étant exponentielle.

Énoncé

Distribution des vitesses de molécules d'oxygène, à −100 °C, 20 °C et 600 °C

Notons $P[{\vec {v}}\simeq {\vec {v_{0}}}]$ la densité de distribution des vitesses vectorielles, calculée en ${\vec {v_{0}}}$, et $P[v\simeq v_{0}]$ la densité relative aux normes de ces vitesses. Alors :

$P[{\vec {v}}\simeq {\vec {v_{0}}}\pm d{\vec {v}}]=\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {mv_{0}^{2}}{2k_{B}T}}}dv^{3}$,

$P[v\simeq v_{0}\pm dv]=\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{3/2}4\pi v_{0}^{2}\,e^{-{\frac {mv_{0}^{2}}{2k_{B}T}}}dv$.

Preuve

Méthode 1 : densités de probabilité

Etablissement de l'équation différentielle

La vitesse d'une particule prise au hasard et ${\vec {v}}_{0}=(v_{x0},v_{y0},v_{z0})$.

La probabilité que la composante $v_{x0}$ selon $x$ de la vitesse d'une particule soit comprise entre $v_{x}$ et $v_{x}+\mathrm {d} v$ est liée à la densité de probabilité de $v_{x}$ : $\mathbb {P} [v_{x}\leqslant v_{x0}<v_{x}+\mathrm {d} v]=f(v_{x})\,\mathrm {d} v_{x}$.

Les variables aléatoires $v_{x}$, $v_{y}$ et $v_{z}$ sont indépendantes et on peut alors écrire la probabilité, en ajoutant des conditions similaires sur $v_{y}$ et $v_{z}$, la densité de probabilité

$\mathrm {d} ^{3}\mathbb {P} \left[{\vec {v}}_{0}\simeq {\vec {v}}\right]=\mathrm {d} ^{3}\mathbb {P} \left({\vec {v}}\right)=\mathbb {P} [\left(v_{x}\leqslant v_{x0}<v_{x}+\mathrm {d} v_{x}\right)\cap \left(v_{y}\leqslant v_{y0}<v_{y}+\mathrm {d} v_{y}\right)\cap \left(v_{z}\leqslant v_{z0}<v_{z}+\mathrm {d} v_{z}\right)]$,

$\mathrm {d} ^{3}\mathbb {P} \left({\vec {v}}\right)=f(v_{x})\,\mathrm {d} v_{x}\,f(v_{y})\,\mathrm {d} v_{y}\,f(v_{z})\,\mathrm {d} v_{z}$,

$\mathrm {d} ^{3}\mathbb {P} \left({\vec {v}}\right)=P({\vec {v}})\,\mathrm {d} v_{x}\,\mathrm {d} v_{y}\,\mathrm {d} v_{z}$,

d'où l'expression de la densité de probabilité pour une vitesse vectorielle, c'est à dire pour une norme donnée et une direction donnée :

$P({\vec {v}})=f(v_{x})f(v_{y})f(v_{z})$.

En n'oubliant pas que $v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}$ et en dérivant selon $v_{x}$, on obtient d'une part :

${\frac {\partial P\left({\vec {v}}\right)}{\partial v_{x}}}={\frac {\mathrm {d} P\left({\vec {v}}\right)}{\mathrm {d} v^{2}}}{\frac {\partial v^{2}}{\partial v_{x}}}=2v_{x}{\frac {\mathrm {d} P\left({\vec {v}}\right)}{\mathrm {d} v^{2}}}$,

et d'autre part :

${\frac {\partial P\left({\vec {v}}\right)}{\partial v_{x}}}={\frac {f(v_{x})}{\mathrm {d} v_{x}}}f(v_{y})f(v_{z})={\frac {\mathrm {d} v_{x}^{2}}{\mathrm {d} v_{x}}}{\frac {f(v_{x})}{\mathrm {d} v_{x}^{2}}}f(v_{y})f(v_{z})=2v_{x}{\frac {f(v_{x})}{\mathrm {d} v_{x}^{2}}}f(v_{y})f(v_{z})=2v_{x}{\frac {f(v_{x})}{\mathrm {d} v_{x}^{2}}}{\frac {P({\vec {v}})}{f(v_{x})}}$.

En identifiant les deux relations qui précèdent,

${\frac {\mathrm {d} P\left({\vec {v}}\right)}{\mathrm {d} v^{2}}}={\frac {f(v_{x})}{\mathrm {d} v_{x}^{2}}}{\frac {P({\vec {v}})}{f(v_{x})}}$

et puisque les mêmes relations peuvent être obtenues en dérivant selon n’importe quelle composante :

${\frac {1}{P({\vec {v}})}}{\frac {\mathrm {d} P\left({\vec {v}}\right)}{\mathrm {d} v^{2}}}={\frac {1}{f(v_{x})}}{\frac {\mathrm {d} f(v_{x})}{\mathrm {d} v_{x}^{2}}}={\frac {1}{f(v_{y})}}{\frac {\mathrm {d} f(v_{y})}{\mathrm {d} v_{y}^{2}}}={\frac {1}{f(v_{z})}}{\frac {\mathrm {d} f(v_{z})}{\mathrm {d} v_{z}^{2}}}=\mathrm {cte}$.

Expression de $f(v_{x})$

On obtient une équation différentielle du premier ordre sans second membre, ce qui constitue un cas très simple :

${\frac {\mathrm {d} f(v_{x})}{\mathrm {d} v_{x}^{2}}}+B\,f(v_{x})=0$.

La solution est de la forme $f(v_{x})=A\,\mathrm {e} ^{-B\,v_{x}^{2}}$.

En intégrant sur l'ensemble des $v_{x}$ possibles :

$\int _{-\infty }^{\infty }A~\mathrm {e} ^{-B\,v_{x}^{2}}\mathrm {d} v_{x}=A\,{\sqrt {\frac {\pi }{B}}}=1\quad \Rightarrow \quad A={\sqrt {\frac {B}{\pi }}}$.

La vitesse quadratique moyenne s'exprime :

$\langle v_{x}^{2}\rangle =A\int _{-\infty }^{+\infty }\!\!\!v_{x}^{2}\,\mathrm {e} ^{-B\,v_{x}^{2}}\,\mathrm {d} v_{x}=A{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{B^{3}}}}$.

$\langle v_{x}^{2}\rangle ={\sqrt {\frac {B}{\pi }}}{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{B^{3}}}}={\frac {1}{2B}}$

Or si on considère que l'énergie thermique n'est due qu'à l'énergie cinétique sur un seul degré de liberté (selon $x$ ici) :

${\frac {1}{2}}m\langle v_{x}^{2}\rangle ={\frac {1}{2}}k_{B}T={\frac {1}{2}}m{\frac {1}{2B}}$.

On en déduit l’expression :

$B={\frac {m}{2k_{B}T}}$ et $A=\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{1/2}$.

Alors

$f(v_{x})=\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{1/2}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {m}{2k_{B}T}}v_{x}^{2}}$.

Expression de $P({\vec {v}})$ et de $P_{v}(v)$

La densité de probabilité pour une vitesse donnée dans une direction donnée est donc :

$P({\vec {v}})=f(v_{x})f(v_{y})f(v_{z})=\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{3/2}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {m}{2k_{B}T}}v^{2}}$.

Si on s'intéresse à la densité de probabilité pour une vitesse de norme de donnée quelle que soit la direction, il faut intégrer sur l'ensemble des direction et l'utilisation des coordonnées sphériques s'impose.

$\mathrm {d} ^{3}\mathbb {P} \left({\vec {v}}\right)=P({\vec {v}})\,\mathrm {d} v_{x}\,\mathrm {d} v_{y}\,\mathrm {d} v_{z}=P({\vec {v}})\,v^{2}\mathrm {d} v\,\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi$.

$\mathrm {d} \mathbb {P} \left(v\right)=P({\vec {v}})\,v^{2}\mathrm {d} v\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \varphi$

$\mathrm {d} \mathbb {P} \left(v\right)=P({\vec {v}})\,4\pi \,v^{2}\mathrm {d} v=P_{v}(v)\,\mathrm {d} v$

La densité de probabilité pour une vitesse de norme donnée est donc :

$P_{v}(v)=\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{3/2}4\pi \,v^{2}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {m}{2k_{B}T}}v^{2}}$.

Méthode 2 : utilisation de la physique statistique

En physique statistique, on est capable de calculer la loi de distribution de Maxwell-Boltzmann à l'aide de la densité de probabilité canonique que l'on note $P(p_{i},q_{i})$ où $p_{i}=mv_{i}$ est l'impulsion et $q_{i}$ est la position de la particule selon le degré de liberté $i$. L'énergie totale de la particule est donnée par l'hamiltonien purement cinétique, et en considérant trois degrés de liberté :

${\mathcal {H}}=E_{c}=\sum _{i=1}^{3}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}={\frac {p^{2}}{2m}}$,

où ${\vec {p}}=m{\vec {v}}$ est la quantité de mouvement de la particule. Il s'agit des notations usuelles de la mécanique hamiltonienne. La probabilité d'un état est fonction de son énergie qui est fonction des positions et impulsions des particules ${\mathcal {H}}\left(\left\{q\right\},\left\{p\right\}\right)$. Un état du système est donc entièrement défini par l'ensemble des valeurs instantannées $\left(\left\{q\right\},\left\{p\right\}\right)$.

La densité de probabilité d'un état dans l'ensemble canonique est donnée par :

$P\left({\mathcal {H}}\right)={\frac {e^{-\beta {\mathcal {H}}}}{Z}}={\frac {1}{Z}}\mathrm {e} ^{-\beta {\frac {p^{2}}{2m}}}$,

en posant $\beta =1/k_{B}T$. $Z$ est la fonction de partition canonique, ou fonction de renormalisation :

$Z=\int \mathrm {e} ^{-\beta {\mathcal {H}}}\,\mathrm {d} ^{f}p$,

$Z=\prod _{k=1}^{3}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\beta {\frac {p_{i}^{2}}{2m}}}\,\mathrm {d} p_{i}=\left({\frac {2\pi m}{\beta }}\right)^{3/2}$.

La densité de probabilité s'exprime alors :

$P\left({\vec {p}}\right)={\frac {e^{-\beta {\mathcal {H}}}}{Z}}=\left({\frac {1}{2\pi mk_{B}T}}\right)^{3/2}\mathrm {e} ^{-{\frac {p^{2}}{2mk_{B}T}}}$,

Nous voulons la densité de probabilité du module de la vitesse. Il est alors commode d'exprimer l'énergie en fonction des modules des impulsions $\textstyle p^{2}=\sum _{i=0}^{3}p_{i}^{2}$et d'utiliser les coordonnées sphériques. La probabilité pour que la quantité de mouvement soit égale à ${\vec {p}}$ s'exprime :

$\mathrm {d} ^{3}\mathbb {P} \left({\vec {p}}\right)=P({\vec {p}})\,\mathrm {d} p_{x}\,\mathrm {d} p_{y}\,\mathrm {d} p_{z}=P({\vec {p}})\,p^{2}\mathrm {d} p\,\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi$.

$\mathrm {d} \mathbb {P} \left(p\right)=P({\vec {p}})\,4\pi \,p^{2}\mathrm {d} p={\frac {4\pi \,p^{2}}{\left(2\pi mk_{B}T\right)^{3/2}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {p^{2}}{2mk_{B}T}}}\mathrm {d} p$

Pour obtenir $P_{v}(v)$ (densité de probabilité pour le module de la vitesse), il faut procéder au changement de variable $p=mv$. Comme le théorème de Liouville impose la conservation du volume de densité de probabilité dans l'espace des phases, on note que :

$\mathrm {d} \mathbb {P} \left(v\right)=P_{v}(v)\,\mathrm {d} v=\mathrm {d} \mathbb {P} \left(p\right)$,

$P_{v}(v)\mathrm {d} v={\frac {4\pi \,p^{2}}{\left(2\pi mk_{B}T\right)^{3/2}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {p^{2}}{2mk_{B}T}}}\mathrm {d} p$..

Ainsi, on trouve finalement :

$P_{v}(v)=4\pi v^{2}\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{B}T}}}$,

la distribution de Maxwell-Boltzmann.

Autres dérivations

• La distribution de Maxwell peut se déduire des lois générales de la physique statistique d'équilibre, en appliquant la statistique de Maxwell-Boltzmann, le niveau d'énergie cinétique $E_{0}={\frac {mv_{0}^{2}}{2}}$ ayant une densité de probabilité $g(E_{0})$ proportionnelle à $4\pi v_{0}^{2}$.

• Elle peut aussi être obtenue par la méthode de Chapman-Enskog comme solution d'ordre zéro de l'équation de Boltzmann décrivant un gaz hors d'équilibre.

Vitesse moyenne

Il y a trois façons de définir une vitesse moyenne relative à la distribution de Maxwell, de densité $P(v)=\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{3/2}4\pi v^{2}\,e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{B}T}}}$ :

1. La vitesse la plus probable est celle pour laquelle $P(v)$ est maximale. Elle vaut ${\sqrt {\frac {2k_{B}T}{m}}}$.
2. La vitesse moyenne arithmétique vaut $\int _{0}^{\infty }vP(v)\mathrm {d} v={\sqrt {\frac {8k_{B}T}{\pi m}}}$.
3. La moyenne quadratique vaut ${\sqrt {\int _{0}^{\infty }v^{2}P(v)\mathrm {d} v}}={\sqrt {\frac {3k_{B}T}{m}}}$.

La dernière vitesse moyenne a un sens physique direct lié à l'énergie cinétique moyenne d'une molécule du gaz, à savoir ${\frac {3k_{B}T}{2}}$.

Annexe

$I_{0}=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-ax^{2}}\mathrm {d} x=2\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-ax^{2}}\mathrm {d} x$

On pose $x=\rho \cos \theta$ et $y=\rho \sin \theta$ qui permet d'écrire $x^{2}+y^{2}=\rho ^{2}$

$I_{0}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-ax^{2}}\mathrm {d} x\times \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-ay^{2}}\mathrm {d} y$

$I_{0}^{2}=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }\mathrm {e} ^{-a\rho ^{2}}\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta$

$I_{0}^{2}=\pi \int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-a\rho ^{2}}2\rho \,\mathrm {d} \rho$

En posant $z=\rho ^{2}$

$I_{0}^{2}=\pi \int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-az}\mathrm {d} z$

$I_{0}^{2}=\pi \left[{\frac {e^{-az}}{-a}}\right]_{0}^{\infty }={\frac {\pi }{a}}$

$I_{0}=\left({\frac {\pi }{a}}\right)^{1/2}$

$I_{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\,\mathrm {e} ^{-ax^{2}}\mathrm {d} x=-{\frac {\mathrm {d} G_{0}}{\mathrm {d} a}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\pi }{a^{3}}}\right)^{1/2}$

$I_{4}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{4}\,\mathrm {e} ^{-ax^{2}}\mathrm {d} x=-{\frac {\mathrm {d} G_{2}}{\mathrm {d} a}}={\frac {3}{4}}\left({\frac {\pi }{a^{5}}}\right)^{1/2}$

$I_{1}=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\mathrm {e} ^{-ax^{2}}\mathrm {d} x$

En posant $y=x^{2}$

$I_{1}=\int _{0}^{\infty }y^{1/2}\,\mathrm {e} ^{-ay}\,{\frac {1}{2}}\,y^{-1/2}\,\mathrm {d} y$

$I_{1}={\frac {1}{2}}\left[{\frac {e^{-ay}}{-a}}\right]_{0}^{\infty }={\frac {1}{2a}}$

$I_{3}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{3}\,\mathrm {e} ^{-ax^{2}}\mathrm {d} x=-{\frac {\mathrm {d} I_{1}}{\mathrm {d} a}}={\frac {1}{2a^{2}}}$

$I_{5}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{5}\,\mathrm {e} ^{-ax^{2}}\mathrm {d} x=-{\frac {\mathrm {d} I_{3}}{\mathrm {d} a}}={\frac {1}{a^{3}}}$

Voir aussi

Articles connexes

• Équation de Boltzmann
• Statistique de Maxwell-Boltzmann
• Théorie cinétique des gaz

Distribution des vitesses Catégorie:James Clerk Maxwell