Transmutation de la force
Newton, dans les Principia et Calculus, démontre (proposition II, corollaire III) un théorème, appelé par Needham transmutation de la force.
Énoncé : soit un champ central de centre de force avec produisant un mouvement de trajectoire , décrit selon la loi des aires (deuxième loi de Kepler).
Alors, cette même trajectoire existe comme solution d'un problème de champ central de centre quelconque dans la concavité de , de force , avec , différente évidemment :
Ce facteur de transmutation vaut : , où est le segment parallèle au vecteur , situé entre et la tangente en à la trajectoire .
Historiquement, il semblerait que ce soit «la» démonstration de novembre 1684, réclamée par Halley en , celle qui déclencha la rédaction des Principia.
Remarque : il paraît plus simple d'écrire cette loi de transmutation de façon plus symétrique en introduisant et :
La loi de Hooke se transmute en loi de gravitation[modifier | modifier le code]
On admet provisoirement le théorème précédent (la démonstration sera faite au prochain paragraphe).
La loi de Hooke a pour équation différentielle :
dont solution est :
ce qui définit un mouvement elliptique dit de Hooke (de Lissajous, en France), dont le centre de force est le centre de l'ellipse, décrite périodiquement avec une pulsation .
En , Wren défia Hooke, en présence de Halley, de démontrer les lois de Kepler, éventuellement via une loi en . Hooke avait bien tenté de le faire, par un travail semi-empirique (mal connu), qui lui donnait des «elliptoïdes». Mais c'est Newton qui donna la solution en , après avoir été questionné par Halley en .
Voici, paraphrasée, sa démonstration, qui utilise le théorème de transmutation.
Soit , une trajectoire elliptique de Hooke, de centre , qui est donc centre de force.
Choisir le foyer comme nouveau centre de force. Le facteur de transmutation, avec ces nouvelles notations, est .
La force devient alors:
On démontre géométriquement (demi-grand axe de l'ellipse).
Il vient donc le théorème suivant :
La force de Hooke centrale de centre , d'expression , est transmutée en la force centrale de centre , foyer de l'ellipse, d'expression .
Sous l'action de cette force centrale, la trajectoire est décrite selon la loi des aires de centre (deuxième loi de Kepler) : on obtient ainsi les deux lois de Kepler. La troisième loi ne présente aucune difficulté particulière, se déduisant aisément de la deuxième loi.
Depuis fort longtemps, on a abandonné cette démonstration, au profit de celle, plus simple, dite de l'hodographe circulaire (d'Hamilton (?) ou de Herman (1710)).
Démonstration du théorème de transmutation[modifier | modifier le code]
Cette démonstration peut être soit purement géométrique, soit considérée par l'introduction d'une échelle de temps.
On trouve ici la démonstration géométrique, proposition X des Principia, on reprend le Théorème de Siacci dans le cas de force centrale :
, longueur de la podaire, est le rayon de courbure.
Donc .
La simple homothétie des triangles et donne , d'où :
Remarque : on peut préférer la démonstration (directe mais anachronique) du Théorème de Siacci, dans le cas restreint d'un champ central :
Le théorème de Leibniz donne pour le travail élémentaire de la force :
Généralisation selon Goursat[modifier | modifier le code]
On peut trouver dans Arnold (1990), Needham (1992), et Chandrasekhar (1995), des correspondances entre des champs centraux de lois de puissance différentes.
Soit un champ central en , , et un champ central en , : il existe une transmutation qui permet de passer de l'un à l'autre via la formule : .
Il est clair que la transmutation d'Arnold est involutive.
On a les cas ou , traités par Newton, puis réutilisés par Maxwell, puis Boltzmann.
Le champ newtonien () se transmute en (Hooke), cas qui vient d'être traité.
Le champ en , donne : on sait que le cas abolit la barrière centrifuge, due à la conservation du moment cinétique ; il est donc normal que apparaisse comme cas limite[1].
Cette généralisation apparaît déjà dans Goursat[2].
Notes et références[modifier | modifier le code]
- Le cas fut traité en détail par Cotes ; on trouvera des détails dans : Emmanuelle Julliard Tosel, Thèse Paris VII, 1999.
- CRAS, 108, 1889
Voir aussi[modifier | modifier le code]
Articles connexes[modifier | modifier le code]
- Temps newtonien
- Théorème de Bertrand
- Théorème de Siacci
- Mouvement à force centrale
- Force centrale
- Mouvement képlérien
Bibliographie[modifier | modifier le code]
- V. Arnold, Barrow Hooke Huygens et Newton, Birkhauser, 1990.
- S. ChandrasekharNewton's Principia for the common reader, Clarendon Press, 2003, 593 pages, (ISBN 019852675X)