En analyse complexe , le théorème des trois droites de Hadamard est un résultat sur le comportement d'une fonction holomorphe sur un domaine du plan complexe délimité par deux droites parallèles.
Soit f une fonction holomorphe bornée sur l'ouvert
B
=
{
x
+
i
y
:
(
x
,
y
)
∈
]
a
,
b
[
×
R
}
{\displaystyle B=\{x+iy:(x,y)\in ]a,b[\times \mathbb {R} \}}
B
¯
{\displaystyle {\overline {B}}}
On pose :
M
:
x
↦
sup
y
|
f
(
x
+
i
y
)
|
{\displaystyle M:x\mapsto \sup _{y}|f(x+iy)|}
Alors ln M est une fonction convexe sur [a , b ], c'est-à-dire :
∀
t
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle \forall t\in [0,1]}
x
=
t
a
+
(
1
−
t
)
b
{\displaystyle x=ta+(1-t)b}
M
(
x
)
≤
M
(
a
)
t
M
(
b
)
1
−
t
,
{\displaystyle M(x)\leq M(a)^{t}M(b)^{1-t},}
et de même en remplaçant [a , b ] par un sous-intervalle.
Soit
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
F
:
z
↦
f
(
z
)
M
(
a
)
z
−
b
b
−
a
M
(
b
)
z
−
a
a
−
b
(
z
+
(
1
−
a
)
)
ϵ
{\displaystyle F:z\mapsto {\frac {f(z)M(a)^{\frac {z-b}{b-a}}M(b)^{\frac {z-a}{a-b}}}{(z+(1-a))^{\epsilon }}}}
B
{\displaystyle B}
Pour tout
z
∈
B
¯
{\displaystyle z\in {\overline {B}}}
|
(
z
+
(
1
−
a
)
)
ϵ
|
≥
1
{\displaystyle \left|(z+(1-a))^{\epsilon }\right|\geq 1}
|
z
+
(
1
−
a
)
|
≥
ℜ
(
z
+
(
1
−
a
)
)
≥
1
{\displaystyle |z+(1-a)|\geq \Re (z+(1-a))\geq 1}
∀
z
∈
∂
B
,
|
F
(
z
)
|
≤
1
{\displaystyle \forall z\in \partial B,|F(z)|\leq 1}
Par le principe du maximum , si F n'est pas constante, alors |F | n'admet pas de maximum local sur B. Puisque
|
F
(
z
)
|
→
0
{\displaystyle |F(z)|\to 0}
|
z
|
→
+
∞
{\displaystyle |z|\to +\infty }
|
F
(
z
)
|
≤
1
{\displaystyle |F(z)|\leq 1}
z
∈
B
¯
{\displaystyle z\in {\overline {B}}}
En faisant tendre
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
0 , il en résulte que :
∀
z
∈
B
¯
,
|
f
(
z
)
|
|
M
(
a
)
z
−
b
b
−
a
|
|
M
(
b
)
z
−
a
a
−
b
|
≤
1
{\displaystyle \forall z\in {\overline {B}},|f(z)||M(a)^{\frac {z-b}{b-a}}||M(b)^{\frac {z-a}{a-b}}|\leq 1}
Or :
|
M
(
a
)
z
−
b
b
−
a
|
=
M
(
a
)
x
−
b
b
−
a
=
M
(
a
)
−
t
{\displaystyle |M(a)^{\frac {z-b}{b-a}}|=M(a)^{\frac {x-b}{b-a}}=M(a)^{-t}}
De même,
|
M
(
b
)
z
−
a
b
−
a
|
=
M
(
a
)
t
−
1
{\displaystyle |M(b)^{\frac {z-a}{b-a}}|=M(a)^{t-1}}
Donc :
∀
z
∈
B
¯
,
|
f
(
z
)
|
≤
M
(
a
)
t
M
(
b
)
1
−
t
{\displaystyle \forall z\in {\overline {B}},|f(z)|\leq M(a)^{t}M(b)^{1-t}}
Jacques Hadamard , « Sur les fonctions entières », Bull. Soc. Math. France , vol. 24, 1896 , p. 186-187 (lire en ligne ) (en) Michael C. Reed (en) Barry Simon Methods of Modern Mathematical Physics , vol. 2 : Fourier Analysis, Self-adjointness , Elsevier , 1975 , 361 p. (ISBN 978-0-12-585002-5 lire en ligne ) , p. 33-34(en) David C. Ullrich , Complex Made Simple , AMS , coll. « Graduate studies in mathematics » (no 97), 2008 , 489 p. (ISBN 978-0-8218-7254-3 lire en ligne ) , p. 386-387Théorème des trois cercles de Hadamard
![{\displaystyle B=\{x+iy:(x,y)\in ]a,b[\times \mathbb {R} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a3cee45b152cf4a703348e6ff2d984ae8dd5e42)
![{\displaystyle \forall t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd73350e3a3c3ff60eb0224505a5c1b6281de8eb)
