Théorème de Parthasarathy

En mathématiques et plus précisément en théorie des jeux, le théorème de Parthasarathy est un théorème découvert par le mathématicien indien Thiruvenkatachari Parthasarathy.

Dans l'étude des jeux sur le carré unité, ce théorème est une généralisation du théorème du minimax de von Neumann.

Texte à traduire

Portion de texte anglais à traduire en français

Texte anglais à traduire :
It states that a particular class of games has a mixed value, provided that at least one of the players has a strategy that is restricted to absolutely continuous distributions with respect to the mesure de Lebesgue (in other words, one of the players is forbidden to use une stratégie pure).

Terminology: $X$ and $Y$ stand for the intervalle unité $[0,1]$ ; ${\mathcal {M}}_{X}$ is the set of mesures de probabilité on $X$ ; $A_{X}\subset {\mathcal {M}}_{X}$ est le sous-ensemble de celles qui sont absolument continues (${\mathcal {M}}_{Y}$ et $A_{Y}$ sont définis de même).

Theorem

Suppose that $k(x,y)$ is bounded on the unit square $0\leq x,y\leq 1$; further suppose that $k(x,y)$ is continue except possibly on a finite number of curves of the form $y=\phi _{k}(x)$ (with $k=1,2,\ldots ,n$) where the $\phi _{k}(x)$ are continuous functions.

Further suppose

$k(\mu ,\lambda )=\int _{y=0}^{1}\int _{x=0}^{1}k(x,y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \lambda (y)=\int _{x=0}^{1}\int _{y=0}^{1}k(x,y)\,\mathrm {d} \lambda (y)\,\mathrm {d} \mu (x).$

Then

$\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}\,\inf _{\lambda \in A_{Y}}k(\mu ,\lambda )=\inf _{\lambda \in A_{Y}}\,\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}k(\mu ,\lambda ).$

This is equivalent to the statement that the game induced by $k(\cdot ,\cdot )$ has a value. Note that the player $Y$ is forbidden from using a pure strategy.

Parthasarathy goes on to exhibit a game in which

$\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}\,\inf _{\lambda \in {\mathcal {M}}_{Y}}k(\mu ,\lambda )\neq \inf _{\lambda \in {\mathcal {M}}_{Y}}\,\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}k(\mu ,\lambda )$

which thus has no value.

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Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Parthasarathy's theorem » (voir la liste des auteurs).
• (en) T. Parthasarathy, « On Games over the unit square », SIAM J. Appl. Math., vol. 19, n^o 2,‎ 1970, p. 473-476 (DOI 10.1137/0119047)