Théorème de Chudnovsky

Le théorème de Chudnovsky est un théorème qui montre sous certaines conditions qu'une fonction continue est limite uniforme de fonctions polynomiales à coefficients entiers. C'est un raffinement du théorème de Stone-Weierstrass.

Énoncé

Soit $f\colon I\to \mathbb {R}$ une fonction continue définie sur un segment $I=[a,b]$ ne contenant pas d'entiers. Alors il existe une suite $(P_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ de polynômes à coefficients entiers convergeant uniformément vers $f$ sur $I$.

Idée de la démonstration

Ramenons-nous au cas où $[a,b]\subseteq {}]0,1[$. La première étape de la preuve consiste à montrer modestement que la fonction constante $x\in {}[a,b]\mapsto 1/2$ est limite uniforme de polynômes à coefficients entiers. On peut même expliciter cette suite $(P_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ de polynômes par :

$P_{0}=X,\quad P_{n+1}=2(1-P_{n})P_{n}$.

Dans un deuxième temps, on élargit ce résultat à toutes les fonctions constantes : en effet, les applications continues de $[a,b]$ dans $\mathbb {R}$ muni de la norme uniforme forment une algèbre sur $\mathbb {R}$ que l'on note ${\mathcal {C}}$. L'ensemble des limites uniformes de polynômes à coefficients entiers ${\overline {\mathbb {Z} [X]}}$ est un fermé contenant toutes les fonctions constantes vers un nombre dyadique.

Mais les nombres dyadiques sont denses dans $\mathbb {R}$, donc ${\overline {\mathbb {Z} [X]}}$ contient toutes les fonctions constantes. Mais c'est aussi une algèbre qui contient $X$ et $\mathbb {R}$, elle contient donc $\mathbb {R} [X]$, et par fermeture ${\overline {\mathbb {R} [X]}}$. Or le théorème de Stone-Weierstrass nous assure que ${\overline {\mathbb {R} [X]}}={\mathcal {C}}$.