Théorème de speedup linéaire

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Le théorème de speedup linéaire est un théorème de théorie de la complexité, un domaine de l'informatique théorique. On peut en fait distinguer deux théorèmes, l'un concernant les classes de complexité en espace et l'autre les classes de complexité en temps. Tous deux ont pour conséquence de regrouper les mesures de complexité qui ne diffèrent que d'une constante, et justifie donc la notation grand O utilisée dans le domaine.

Le théorème de speedup en temps est dû à Juris Hartmanis et Richard Stearns[1].

Énoncés[modifier | modifier le code]

Théorème de speedup en temps[modifier | modifier le code]

Pour toute machine de Turing T, calculant une fonction g en temps f(n) (où n est la taille de l'entrée) et toute constante 1>c>0, il existe une machine de Turing T' calculant g en temps 2+n+cf(n)[2].

Théorème de speedup en espace[modifier | modifier le code]

Pour toute machine de Turing T, calculant une fonction g en espace f(n) (où n est la taille de l'entrée) et toute constante 1>c>0, il existe une machine de Turing T' calculant g en espace cf(n).

Idée de la démonstration[modifier | modifier le code]

L'idée principale de la preuve est de coder plusieurs lettres en une seule : en faisant des groupes de lettres on peut utiliser moins de place (puisque seul compte le nombre de cases utilisées et pas la taille des lettres) et "sauter" de groupe de lettres en groupe de lettres, ce qui prend moins de temps. En faisant des groupes de 1/c lettres on obtient les résultats annoncés.

Conséquences[modifier | modifier le code]

  • En théorie de la complexité, les constantes multiplicatives ne sont pas prises en compte.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Sanjeev Arora et Boaz Barak, Computational Complexity : A modern Approach, Cambridge University Press,‎ 2009 (ISBN 0-521-42426-7)
  2. (en) Christos Papadimitriou, Computational Complexity, Addison-Wesley,‎ 1993 (ISBN 978-0-201-53082-7) chapitre 2.4. Linear speedup