Systèmes à commutation

Les systèmes à commutation représentent une classe de systèmes dynamiques hybrides (voir l'article système hybride). Un système à commutation est composé d'une famille de sous-systèmes à dynamique continue (de type équation différentielle ou équation récurrente) et une loi logique qui indique un sous-système actif.

Formellement, un système à commutation est défini par:

${\dot {x}}(t)=f_{\sigma (t)}(t,x(t),u(t))$ où

• $\sigma :\mathbb {R} ^{+}\rightarrow {\mathcal {I}}=\left\{1,2,\ldots ,N\right\}$ représente une fonction constante par morceaux, nommée signal de commutation

• $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ représente l'état du système

• $u(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ la commande, et $f_{i}(\cdot ,\cdot ,\cdot ),\ \forall i\in {\mathcal {I}}$ sont des champs de vecteurs décrivant les différents régimes de fonctionnement du système.

La fonction de commutation $\sigma (t)\in {\mathcal {I}}$, où ${\mathcal {I}}$ est un ensemble d'indices, spécifie le sous-système actif. Le choix du sous-système actif peut être lié à un critère temporel, à des régions ou surfaces déterminées dans l'espace d'état, ou à un paramètre extérieur. On peut identifier un aspect contrôlé (quand la fonction de commutation représente une commande introduite dans le but d'obtenir un comportement désiré) et, par opposition, un aspect autonome.

Si les champs de vecteurs des sous-systèmes prennent la forme $A_{i}x(t),\ \forall \ i\in {\mathcal {I}}$ et si $u(t)$ n'est pas présent alors on obtient un système à commutation autonome linéaire ${\dot {x}}(t)=A_{\sigma (t)}x(t).$

Relation avec les inclusions différentielles

(équations différentielles ordinaires à second membre discontinu)

Un système à commutation linéaire sous la forme

${\dot {x}}(t)=A_{\sigma (t)}x(t),$

avec

$A_{\sigma (t)}\in \left\{A_{1},A_{2},\ldots ,A_{N}\right\},\ \forall \ {\sigma (t)}\in {\mathcal {I}},$

peut être exprimé comme une inclusion différentielle inclusions différentielles linéaires décrites par

${\dot {x}}\in F(x)=\left\{y:y=Ax,A\in {\mathcal {A}}\right\}$

avec

${\mathcal {A}}=\left\{A_{1},A_{2},\ldots ,A_{N}\right\}.$

Source : J. P. Aubin et A. Cellina, 1984

Étude de stabilité

Motivation:

• des systèmes asymptotiquement stables déterminent, par une séquence de commutation, une trajectoire instable;

• des systèmes instables peuvent être stabilisés par des commutations.

Classification des problèmes de stabilité (Liberzon et Morse, 1999):

• Problème A : Trouver des conditions de stabilité telles que le système est asymptotiquement stable quelle que soit la fonction de commutation.

• Problème B : Identifier les classes de lois de commutation pour lesquelles le système à commutation est asymptotiquement stable.

• Problème C : Construire un signal de commutation qui rend le système asymptotiquement stable.

Critères de stabilité

• En utilisant la relation avec les inclusions différentielles

Molchanov et Pyatnitskiy expriment ce problème de stabilité en termes de fonction de Lyapunov quasi-quadratique :

L'origine $x=0$ de l'inclusion différentielle linéaire est asymptotiquement stable si et seulement s'il existe une fonction de Liapounov $V(x)$ strictement convexe, homogène (du second ordre) et quasi-quadratique :

$V(x)=x^{T}{\mathcal {P}}(x)x,$

${\mathcal {P}}(x)={\mathcal {P}}^{T}(x)={\mathcal {P}}(\tau x),\ x\neq 0,\ \tau \neq 0$

dont la dérivée satisfait l'inégalité :

${\dot {V}}^{\ast }=\sup _{y\in F(x)}\lim _{h\rightarrow 0}h^{-1}\left\{V(x+hy)-V(x)\right\}\leq -\gamma \left\|x\right\|^{2},\gamma >0.$

Ceci implique que la stabilité des systèmes à commutation est liée à l'existence d'une fonction de Lyapunov commune pour l'ensemble des sous-systèmes. D'un point de vue pratique, la recherche numérique ou analytique d'une telle fonction n'est pas aisée.

• Condition suffisante de stabilité : existence d'une fonction de Lyapunov quadratique

Par la recherche d'une fonction de Lyapunov quadratique

$V(x)=x^{T}Px$

avec une matrice $P$ constante L'existence d'une telle fonction peut être exprimée en termes d'inégalités matricielles linéaires

$A_{i}^{T}P+PA_{i}<0,\ \forall \ i=1,\ldots ,N$

(ang. linear matrix inequality - LMI ) (Boyd, 1994) dont la solution peut être trouvée par des algorithmes d'optimisation convexe.

Bibliographie

• (en) D. Liberzon, Switching in Systems and Control, Birkhäuser, coll. « Systems and Control : Foundation and Applications », 2003.
• (en) D. Liberzon et A. S. Morse, « Basic Problems in Stability and Design of Switched Systems », IEEE Control Systems Magazine,‎ 1999, p. 59—70.
• (en) R. A. Decarlo, M. S. Branicky, S. Pettersson et B. Lennartson, « Perspectives and results on the stability and stabilizability of hybrid systems », IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 88, n^o 7,‎ 2000, p. 1069—1082.
• (en) J. P. Aubin et A. Cellina, Differential Inclusions, New-York, Springer-Verlag, 1984, 342 p. (ISBN 978-3-642-69514-8).
• (en) S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron et V. Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, Philadelphia, coll. « Studies in Applied Mathematics (SIAM) », 1994.
• (en) A. Molchanov et E. Pyatnitskiy, Criteria of asymptotic stability of differential and difference inclusions encountered in control theory, vol. 13, 1989, chap. 1, p. 59–64.