Perspective cavalière

Parties de fortification : gallery (à gauche) en perspective avec point de fuite et battery (à droite) en perspective cavalière (Cyclopaedia vol. 1, 1728)

Report des coordonnées pour placer un point sur une perspective cavalière

La perspective cavalière est un outil qui permet de représenter sur une feuille de papier (en deux dimensions) des objets qui existent en volume (trois dimensions). Cette représentation ne présente pas de point de fuite : la taille des objets ne diminue pas lorsqu'ils s'éloignent. C'est une forme particulière de perspective axonométrique, où l'on situe les points grâce à leurs coordonnées dans un système de repères formé de leurs coordonnées sur les trois axes (X,Y,Z) et de leurs coefficients de réduction.

Dans ce mode de représentation de perspective parallèle, deux des axes sont orthogonaux et n'ont pas de coefficient de réduction (= 1). Le troisième axe est incliné, en général de 30 ou 45° par rapport à l'horizontale, appelé « angle de fuite », et a un coefficient de réduction (ou coefficient de fuite) inférieur à 1, en général 0,7 ou 0,5 (le cosinus de l'angle).

Cette perspective ne prétend pas donner l'illusion de ce qui peut être vu, mais simplement donner une information sur la notion de profondeur.

Simple à réaliser, c'est une perspective naïve qui peut traduire un manque de « vision dans l'espace ». Trop souvent utilisée dans les dessins à main levée, elle est malgré tout à déconseiller par son ambiguïté de représentation : un objet éloigné d'un autre peut sembler être plutôt au-dessus ou au-dessous.

Cette représentation était utilisée initialement pour la conception des fortifications militaires. Le « cavalier » (ou « cavaletto ») est un promontoire de terre (ou un tabouret à quatre pieds) situé en arrière des fortifications et qui permettait de voir par-dessus la ligne des ouvrages de défense, et donc de voir les ouvrages des assaillants et d'ainsi anticiper les plans offensifs de l'assaillant. La perspective cavalière était donc la vue que l'on avait du haut du cavalier (les anglais utilisent parfois le terme de « high view point », en français « point de vue de haut »). Certains avancent également que c'est la vue qu'a un cavalier du haut de son cheval.

Approche d'un point de vue mathématique

Si le plan face au lecteur est le plan xz et que l'axe de fuite est l'axe y, avec un angle de fuite α et un rapport k, alors un point dans l'espace de coordonnées (x, y, z) est représenté par un point du plan de coordonnées (x", z") telles que :

• x" = x + k·cos α·y ;
• z" = z + k·sin α·y.

La matrice de transformation est donc

$P={\begin{pmatrix}1&k\cdot \cos \alpha &0\\0&k\cdot \sin \alpha &1\end{pmatrix}}$

Pour un angle de 45° et un rapport de 0,5, on a :

• x" = x + 0,35·y ;
• z" = z + 0,35·y.

Liens externes

• Projections orthogonales - Math linéaire - Mathématique du secondaire - Notes pour lycéens (étudiants du secondaire).