Estimation spectrale

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L'estimation spectrale regroupe toutes les techniques d'estimation de la densité spectrale de puissance (DSP).

Estimations paramétriques[modifier | modifier le code]

Les méthodes d'estimation spectrale paramétriques utilisent un modèle pour obtenir une estimation du spectre. Ces modèles reposent sur une connaissance a priori du processus et peuvent être classées en trois grandes catégories :

Modèles autorégressif (AR)
Modèles à moyenne ajustée (MA)
Modèles autorégressif à moyenne ajustée (ARMA).

L'approche paramétrique se décompose en trois étapes :

Choisir un modèle décrivant le processus de manière appropriée.
Estimer les paramètres du modèle à partir de données disponibles.
Estimer le spectre à partir des paramètres du modèle.

Estimation spectrale à l'aide d'un modèle AR[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Processus autorégressif.

Un processus autorégressif est semblable à la fonction de transfert d'un filtre à réponse impulsionnelle infinie, en ce sens où la sortie dépend de ses états précédents.

Estimation spectrale à l'aide d'un modèle MA[modifier | modifier le code]

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Estimation spectrale à l'aide d'un modèle ARMA[modifier | modifier le code]

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Estimation classiques ou non-paramétriques[modifier | modifier le code]

Ces méthodes d'estimation spectrale dites classiques ou non-paramétriques sont toutes basées sur le périodogramme, voici le raisonnement qui mène à celui-ci. En considérant un processus discret x(n) aléatoire stationnaire du second ordre, on écrit sa fonction d'autocorrélation :

$r_{xx}(k)=E\{x(n+k)x^{*}(n)\}$

D'après le théorème de Wiener-Khintchine, la densité spectrale de puissance est la transformée de Fourier de l'autocorrélation :

$S_{x}(\omega )=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }r_{xx}(k)\,\exp(-j\omega k)$

Estimer la densité spectrale de puissance revient à estimer l'autocorrélation du signal. De manière rigoureuse, l'autocorrélation s'écrit :

$\lim _{N\to \infty }\{{\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}x(n+k)x^{*}(n)\}=r_{xx}(k)$

En pratique, obtenir un signal sur une durée infinie et l'acquérir sans bruit est impossible. Ainsi, on calcule l'autocorrélation sur un intervalle connu :

${\hat {r}}_{xx}(k)={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}x(n+k)x^{*}(n)$

En prenant la transformée de Fourier de cette approximation, on obtient le périodogramme :

${\hat {S}}_{per}(\omega )={\frac {1}{N}}{|\sum _{n=1}^{N}x(n)\,\exp(-j\omega n)|}^{2}.$

Le périodogramme[modifier | modifier le code]

Le périodogramme permet une estimation simple de la densité spectrale de puissance en prenant le module au carré de la transformée de Fourier discrète. Il a été introduit par Arthur Schuster en 1898.

${\hat {S}}_{per}(\omega )={\frac {1}{N}}{|\sum _{n=1}^{N}x(n)\,\exp(-j\omega n)|}^{2}.$

N représente le nombre d'échantillons fixés

ω représente la pulsation

Lorsque l'on considère un échantillonnage temporel $x[n]$ d'un signal $x(t)$ , pour estimer la densité spectrale de puissance du signal, le périodogramme est défini par :

${\hat {S}}_{per}(f_{k}=(k-1)\Delta f)={\frac {\Delta T}{N}}{|\sum _{n=1}^{N}x[n]\,\exp(-j2\pi {\frac {(k-1)}{N}}(n-1))|}^{2}={\frac {1}{\Delta f}}{|{\frac {1}{N}}TFD[(x[n])][k]|}^{2}.$

$\Delta T$ représente la durée entre deux échantillons temporels

$\Delta f={\frac {1}{N\Delta T}}$ représente l'intervalle entre deux échantillons de fréquence

$x[n]=x((n-1)\Delta T)$ est la valeur du $n^{ieme}$ échantillon.

Biais du périodogramme[modifier | modifier le code]

Le périodogramme est un estimateur biaisé de la densité spectrale de puissance.

Démonstration de calcul du biais

L’espérance de l'estimation de l'autocorrélation se note :

${\begin{aligned}E\{{\hat {r}}_{xx}(k)\}&={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N-k}E\{x(n+k)x^{*}(n)\}\\\ &={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N-k}r_{xx}(k)\\\ &{\frac {N-k}{N}}r_{xx}(k)\end{aligned}}$

Variance du périodogramme[modifier | modifier le code]

Démonstration de calcul de la variance

Le périodogramme modifié[modifier | modifier le code]

Une première modification apportée au périodogramme permet de supprimer le biais asymptotiquement.

Méthode de Bartlett[modifier | modifier le code]

La méthode de Bartlett ou périodogramme moyenné modifié introduit une moyenne statistique.

Méthode de Welch[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Méthode de Welch.

La méthode de Welch améliore celle de Bartlett en introduisant une segmentation du signal, un fenêtrage et la possibilité d'ajouter un recouvrement.

Méthode de Blackman-Tukey[modifier | modifier le code]

Méthode de Capon[modifier | modifier le code]

Voir méthode SVD

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Oppenheim, Alan V.; Schafer, R. W.; and Buck, J. R., Discrete-time signal processing, Upper Saddle River, N.J., Prentice Hall, 1999 (ISBN 0-13-754920-2)