Processus autorégressif

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Un processus autorégressif est un modèle de régression pour séries temporelles dans lequel la série est expliquée par ses valeurs passées plutôt que par d'autres variables.

Définition[modifier | modifier le code]

Un processus autorégressif d'ordre p, noté AR(p) est donné par:

Définition — AR(p):  X_t = c + \varphi_1 X_{t-1}+\varphi_2 X_{t-2}+\ldots+\varphi_p X_{t-p} + \varepsilon_t .\,

\varphi_1, \ldots, \varphi_p sont les paramètres du modèle, c est une constante et \varepsilon_t un bruit blanc.

En utilisant L l'opérateur des retards, on peut l'écrire:  (1- \varphi_1 L-\varphi_2 L^2-\ldots-\varphi_p L^p)X_t=c+ \varepsilon_t .\,

Processus AR(1)[modifier | modifier le code]

Un processus autorégressif d'ordre 1 s'écrit:

 X_t = c + \varphi X_{t-1}+ \varepsilon_t .\,


Représentation en moyenne mobile[modifier | modifier le code]

On peut formuler le processus AR(1) de manière récursive par rapport aux conditions précédentes:

X_t=c\sum_{k=0}^{N-1}\varphi^k+\varphi^NX_{t-N}+\sum_{k=0}^{N-1}\varphi^k\varepsilon_{t-k}.

En remontant aux valeurs initiales, on aboutit à:

Propriété — X_t=c\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^i+\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^i\varepsilon_{t-i}

Il est à noter que les sommes vont ici jusqu'à l'infini. Cela est dû au fait que les séries temporelles sont souvent supposées commencer depuis t_0=-\infty et non pas t_0=0. Certains auteurs considèrent cependant que la série commence en t_0=0 et ajoutent alors la valeur initiale X_0 dans la formule.

On peut voir que X_t est le bruit blanc convolé avec le noyau \varphi^k plus une moyenne constante. Si le bruit blanc est gaussien, alors X_t est aussi un processus normal.

Représentation dans le domaine de la fréquence[modifier | modifier le code]

La Densité spectrale de puissance est la Transformée de Fourier de la fonction d'autocovariance. Dans le cas discret, cela s'écrit:

\Phi(\omega)=
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\sum_{n=-\infty}^\infty B_n e^{-i\omega n}
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\left(\frac{\sigma^2}{1+\varphi^2-2\varphi\cos(\omega)}\right).

Ce développement est périodique dû à la présence du terme en cosinus au dénominateur. En supposant que le temps d'échantillonnage (\Delta t=1) est plus petit que le decay time (\tau), alors on peut utiliser une approximation continue de B_n:

B(t)\approx \frac{\sigma^2}{1-\varphi^2}\,\,\varphi^{|t|}

qui présente une forme lorentzienne pour la densité spectrale:

\Phi(\omega)=
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\frac{\sigma^2}{1-\varphi^2}\,\frac{\gamma}{\pi(\gamma^2+\omega^2)}

\gamma=1/\tau est la fréquence angulaire associée à \tau.

Moments d'un processus AR(1)[modifier | modifier le code]

Pour calculer les différents moments d'un processus AR(1), soit son espérance, sa variance, son autocovariance et son autocorrélation, on va supposer que les bruits blancs sont indépendamment et identiquement distribués, d'espérance nulle et de variance \sigma^2 (que l'on note \varepsilon_{i} \sim iid (0,\sigma^2)).

Espérance[modifier | modifier le code]

\operatorname{E}[X_t]=\varphi^t X_0 + c\sum_{i=0}^{t-1}\varphi^i\,

Démonstration par raisonnement par récurrence

  • P(0) (initialisation): \operatorname{E}[X_0] = X_0\,, parce que X0 est déterministe. L'expression est:
\varphi^0 X_0 + c \sum_{i=0}^{-1}\varphi^i = 1 X_0 + 0 = X_0\,
  • P(t+1) (hérédité ):
\operatorname{E}[X_{t+1}]= \operatorname{E}[c + \varphi X_t + \epsilon_t]\,

Comme E est un opérateur linéaire:

\operatorname{E}[X_{t+1}]= c + \varphi \operatorname{E}[X_t]\,

Avec l'hypothèse d'induction:

\operatorname{E}[X_{t+1}]=c + \varphi (\varphi^t X_0 + c \sum_{i=0}^{t-1}\varphi^i)\,
\operatorname{E}[X_{t+1}]=c + \varphi^{t+1} X_0 + c \sum_{i=0}^{t-1}\varphi^{i+1}\,

Par un changement de variables dans la somme, i → i-1:

\operatorname{E}[X_{t+1}]= \varphi^{t+1} X_0 + c + c \sum_{i=1}^{t}\varphi^i\,

Et, avec c = c \sum_{i=0}^{0} \varphi^i\,:

\operatorname{E}[X_{t+1}]= \varphi^{t+1} X_0 + c \sum_{i=0}^{t}\varphi^i\,

Variance[modifier | modifier le code]

\operatorname{Var}[X_t]= \sum_{i=0}^{\infty}\varphi^{2i}\sigma^2

Autocovariance[modifier | modifier le code]

\operatorname{Cov}[X_t,X_{t-j}]= \varphi^{j}\sum_{i=0}^{\infty}\varphi^{2i}\sigma^2


Autocorrélation[modifier | modifier le code]

\operatorname{Corr}[X_t,X_{t-j}]\equiv \frac{\operatorname{Cov}[X_t,X_{t-j}]}{\operatorname{Var}(X_t)}=\varphi^j

Conditions de stationnarité[modifier | modifier le code]

Le paramètre \varphi détermine si le processus AR(1) est stationnaire ou non:  |\varphi| = \begin{cases} 
<1 & \textrm{Le \ processus \ est \ stationnaire}\\

=1 &  \textrm{Marche \ aleatoire: 
 \ le \ processus \ est \ donc \ non \ stationnaire}\\

>1 & \textrm{Le \ processus \ est \ explosif}\end{cases}

ϕ<1[modifier | modifier le code]

Sous la condition, X_0 = \frac{c}{1-\varphi}, les résultats suivant viennent du fait que si |q|<1 alors la série géométrique \sum_{n=0}^{\infty} aq^n=\frac{a}{1-q} .

 \text{si } |\varphi|<1:

\operatorname{E}[X_t]=\frac{c}{1-\varphi}
\operatorname{Var}[X_t]= \frac{\sigma^2}{1-\varphi^2}
\operatorname{Cov}[X_t,X_{t-j}]= \frac{\varphi^j}{1-\varphi^2} \sigma^2
\operatorname{Corr}[X_t,X_{t-j}]=\varphi^j

On peut voir que la fonction d'autocovariance décroît avec un taux de \tau=-1/\ln(\varphi). On voit ici que l'espérance et la variance sont constantes et que l'autocovariance ne dépend pas du temps: le processus est donc stationnaire.

ϕ=1[modifier | modifier le code]

Lorsque \varphi =1, le processus s'écrit: X_t=c+ X_{t-1}+\varepsilon_t
et donc, en considérant contrairement à avant que t_0=0, X_t=ct+X_0+\sum_{i=0}^{t-1}\varepsilon_{t-i}

 \text{si } |\varphi|=1:

\operatorname{E}[X_t]=ct+X_0\,
\operatorname{Var}[X_t]= t\sigma^2\,
\operatorname{Cov}[X_t,X_{t-j}]= (t-j)\sigma^2\,

Processus AR(p)[modifier | modifier le code]

Un processus AR(p) s'écrit:

 X_t = c + \varphi_1 X_{t-1}+\varphi_2 X_{t-2}+\ldots+\varphi_p X_{t-p} + \varepsilon_t .\,

Moments[modifier | modifier le code]

Les différents moments d'un processus stationnaire (voir section suivante) sont[1]:

\operatorname{E}(X_t)=\frac{c}{1-\varphi_1-\varphi_2-\ldots-\varphi_p}

\operatorname{Var}(X_t)=\varphi_1\gamma_1+\varphi_2\gamma_2+\ldots+\varphi_p\gamma_p+\sigma^2

\operatorname{Cov}(X_t, X_{t-j})=\varphi_1\gamma_{j-1}+\varphi_2\gamma_{j-2}+\ldots+\varphi_p\gamma_{j-p}

Les formules de la variance et de la covariance correspondent aux équations dites de Yule et walker (voir plus bas).

Condition de stationarité[modifier | modifier le code]

Théorème — Un processus AR(p) est stationnaire si le module des solutions (les racines) de son équation caractéristique est à chaque fois strictement supérieur à 1 en valeur absolue.

La condition est souvent formulée différemment, selon laquelle les racines doivent être en dehors du cercle complexe unitaire.

Exemple: AR(1)[modifier | modifier le code]

Le polynôme des retards d'un processus AR(1) X_t=\varphi X_{t-1} + \varepsilon_t s'écrit: (1-\varphi L)X_t=\varepsilon_t. Sa résolution (en remplaçant l'opérateur retard L par la simple valeur x) donne 1-\varphi x=0 \Rightarrow   x= \frac{1}{\varphi}. La condition que la solution soit plus grande que 1 revient à |\frac{1}{\varphi}|>1 \Rightarrow |\varphi|<1

Exemple: AR(2)[modifier | modifier le code]

Le polynôme des retards d'un processus AR(2) X_t=\varphi_1 X_{t-1} +\varphi_2 X_{t-2}+ \varepsilon_t s'écrit: (1-\varphi_1 L-\varphi_2 L^2)X_t=\varepsilon_t. La résolution de l'équation du second degré (1-\varphi_1 x-\varphi_2 x^2) amène aux conditions suivantes[2]:

  • \varphi_1+\varphi_2<1
  • \varphi_2-\varphi_1<1
  • |\varphi_2|<1

Équations de Yule-Walker[modifier | modifier le code]

Les équations de Yule-Walker établissent une correspondance directe entre les paramètres du modèle (les \varphi et c) et ses autocovariances. Elles sont utiles pour déterminer la fonction d'autocorrélation ou estimer les paramètres. Elles établissent que:

équation YW — \gamma_j = \sum_{k=1}^p \varphi_k \gamma_{j-k} \qquad \forall j=1, \ldots, p

Les coefficients \gamma_j représentent la fonction d'autocovariance de X d'ordre j.

Lorsque l'on inclut également l'autocovariance d'ordre 0 (en fait la variance), il faut également rajouter la variance des résidus pour la première équation. Ce terme supplémentaire ne se retrouve que dans la première équation car on a fait l'hypothèse d'indépendance des résidus (et donc \operatorname{Cov}(\varepsilon)=0).

équation YW — \gamma_j = \sum_{k=1}^p \varphi_k \gamma_{j-k} + \sigma_\varepsilon^2\delta_j \qquad \forall j=0,\ldots, p

\sigma_\varepsilon est la déviation (écart-type) du bruit blanc et δj le Symbole de Kronecker, qui vaut 1 si j=0 et 0 autrement.

Il est aussi possible d'exprimer ces équations en fonctions de l'autocorrélation:

équation YW — \rho_j = \sum_{k=1}^p \varphi_k \rho_{j-k} + \sigma_\varepsilon^2\delta_j \qquad \forall j=0,\ldots, p

Exemples[modifier | modifier le code]

AR(1)[modifier | modifier le code]

Pour un processus AR(1), on a :

\gamma_j=\varphi \gamma_{j-1} \qquad \forall j=1,\ldots,p

On remarque que l'on retrouve rapidement, avec j=1, le résultat obtenu plus haut :

 \rho_1=\frac{\gamma_1}{\gamma_0}=\varphi
\operatorname{Var}[X_t]= \frac{\sigma^2}{1-\varphi^2} en prenant l'équation supplémentaire pour \gamma_0=\varphi\gamma_1 +\sigma^2_{\varepsilon}, qui devient alors \gamma_0=\varphi\gamma_0\varphi +\sigma^2_{\varepsilon}=\varphi^2\gamma_0 +\sigma^2_{\varepsilon}\Rightarrow(1-\varphi^2)\gamma_0=\sigma^2\Rightarrow \gamma_0=\frac{\sigma^2}{1-\varphi^2}
AR(p)[modifier | modifier le code]
\begin{cases}
\gamma_1 =\varphi_1\gamma_0+\varphi_2\gamma_{-1}+\ldots +\varphi_p\gamma_{-(p-1)}\\
\gamma_2 =\varphi_1\gamma_1+\varphi_2\gamma_{0}+\ldots +\varphi_p\gamma_{-(p-2)}\\
\vdots \\
\gamma_p =\varphi_{1}\gamma_{p-1}+\varphi_2\gamma_{p-2}+\ldots +\varphi_p\gamma_{0}
\end{cases}

Que l'on peut écrire sous forme matricielle:

\begin{bmatrix}
\gamma_1 \\
\gamma_2 \\
\gamma_3 \\
\vdots \\
\end{bmatrix} 

=

\begin{bmatrix}
\gamma_0 & \gamma_{-1} & \gamma_{-2} & \dots \\
\gamma_1 & \gamma_0 & \gamma_{-1} & \dots \\
\gamma_2 & \gamma_{1} & \gamma_{0} & \dots \\
\vdots      & \vdots         & \vdots       & \ddots \\
\end{bmatrix} 

\begin{bmatrix}
\varphi_{1} \\
\varphi_{2} \\
\varphi_{3} \\
 \vdots \\
\end{bmatrix}

Preuve[modifier | modifier le code]

L'équation définissante du processus AR est

 X_t = \sum_{i=1}^p \varphi_i\,X_{t-i}+ \varepsilon_t.\,

En multipliant les deux membres par Xt − j et en prenant l'espérance, on obtient

E[X_t X_{t-j}] = E\left[\sum_{i=1}^p \varphi_i\,X_{t-i} X_{t-j}\right]+ E[\varepsilon_t X_{t-j}].

Or, il se trouve que E[XtXt − j] = γj par définition de la fonction d'autocovariance. Les termes du bruit blancs sont indépendants les uns des autres et, de plus, Xt − j est indépendant de εtj est plus grand que zéro. Pour j > 0, E[εtXt − j] = 0. Pour j = 0,

E[\varepsilon_t X_{t}] 
= E\left[\varepsilon_t \left(\sum_{i=1}^p \varphi_i\,X_{t-i}+ \varepsilon_t\right)\right]
= \sum_{i=1}^p \varphi_i\, E[\varepsilon_t\,X_{t-i}] + E[\varepsilon_t^2]
= 0 + \sigma_\varepsilon^2,

Maintenant, on a pour j ≥ 0,

\gamma_j = E\left[\sum_{i=1}^p \varphi_i\,X_{t-i} X_{t-j}\right] + \sigma_\varepsilon^2 \delta_j.

Par ailleurs,

E\left[\sum_{i=1}^p \varphi_i\,X_{t-i} X_{t-j}\right]
= \sum_{i=1}^p \varphi_i\,E[X_{t} X_{t-j+i}]
= \sum_{i=1}^p \varphi_i\,\gamma_{j-i},

qui donne les équations de Yule-Walker:

\gamma_j = \sum_{i=1}^p \varphi_i \gamma_{j-i} + \sigma_\varepsilon^2 \delta_j.

pour j ≥ 0. Pour j < 0,

\gamma_j = \gamma_{-j} = \sum_{i=1}^p \varphi_i \gamma_{|j|-i} + \sigma_\varepsilon^2 \delta_j.

Estimation[modifier | modifier le code]

En partant du modèle AR(p) sans constante donné par:

 X_t = \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i}+ \varepsilon_t.\,

Les paramètres à estimer sont les \varphi_i \quad i=1,\ldots,p et \sigma^2_\varepsilon.

Méthode de Yule-Walker[modifier | modifier le code]

La méthode consiste à reprendre les équations de Yule-Walker en inversant les relations: on exprime les coefficients en fonction des autocovariances. On applique alors le raisonnement de la Méthode des moments: on trouve les paramètres estimés d'après les autocovariances estimées.

En prenant l'équation sous sa forme matricielle:

\begin{bmatrix}
\gamma_0 \\
\gamma_1 \\
\gamma_2 \\
\gamma_3 \\
\vdots \\
\end{bmatrix} 

=

\begin{bmatrix}
\gamma_{-1} & \gamma_{-2} & \gamma_{-3} & \dots &1\\
\gamma_0 & \gamma_{-1} & \gamma_{-2} & \dots &0\\
\gamma_1 & \gamma_0 & \gamma_{-1} & \dots &0\\
\gamma_2 & \gamma_{1} & \gamma_{0} & \dots &0\\
\vdots      & \vdots         & \vdots       & \ddots &0\\
\end{bmatrix} 

\begin{bmatrix}
\varphi_{1} \\
\varphi_{2} \\
\varphi_{3} \\
 \vdots \\
\sigma^2_\varepsilon
\end{bmatrix}

Le vecteur des paramètres \hat\theta=\begin{pmatrix}
\hat\varphi_{1} \\
 \vdots \\
\hat\sigma^2_\varepsilon
\end{pmatrix} peut alors être obtenu.

Maximum de vraisemblance inconditionnel[modifier | modifier le code]

L'estimation d'un modèle AR(P) par la méthode du maximum de vraisemblance est délicate car la fonction de vraisemblance est très complexe et n'a pas de dérivée analytique. Cette difficutlé provient de l'interdépendance des valeurs, ainsi que du fait que les observations antérieures ne sont pas toutes disponibles pour les p premières valeurs.

Maximum de vraisemblance conditionnel[modifier | modifier le code]

Une manière de simplifier la complexité de la fonction de vraisemblance est de conditionner cette fonction aux p premières observations. La fonction de log-vraisemblance devient:  \begin{align}L(x_1, x_2,\ldots, x_T)&=-\frac{(T-P)}{2}\log(2 \pi) -\frac{(T-P)}{2}\log(\sigma^2)\\
&-\sum_{t=p+1}^{T}\frac{(y_t-c-\varphi_1y_{t-1}-\varphi_2y_{t-2}-\ldots-\varphi_py_{t-p})^2}{2\sigma^2}
\end{align}

La maximisation de cette fonction par rapport aux paramètres \varphi correspond à la minimisation des erreurs du modèle. L'estimateur du maximum de vraisembance conditionnel correspond ainsi à celui des moindres carrés.

L'estimateur obtenu sera équivalent à l'estimateur inconditionnel dans de grands échantillons et tous deux ont la même distribution asymptotique (Hamilton 1994, p. 126). Il peut être biaisé[3]

Propriétés des estimateurs[modifier | modifier le code]

Davidson et McKinnon (1993) rapportent que l'estimateur des moindres carrés conditionnel est biaisé, mais néanmoins convergent. Cryer et Chan (2008) proposent une simulation Monte-Carlo pour tester les différents estimateurs.

Annexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. selon Hamilton (1994, p. 59)
  2. voir Cryer (2008, p. 84)
  3. voir Greene (2005, p. 256)

Articles connexes[modifier | modifier le code]