Fonction à oscillation moyenne bornée

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L'ensemble des fonctions à oscillations moyennes bornées, usuellement noté $BMO$ de l'anglais « bounded mean oscillation », est un espace de fonctions utilisé en analyse harmonique.

Il a été introduit par Fritz John et Louis Nirenberg^[1] pour résoudre des problèmes d'équations aux dérivées partielles.

Définition[modifier | modifier le code]

Pour toute fonction $f\in$ $L 1 loc$ $(\mathbb {R} ^{n})$ , on définit $\|f\|_{BMO}=\sup _{Q\subset \mathbb {R} ^{n}}{\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}|f(x)-f_{Q}|\,\mathrm {d} x.$ .

La borne supérieure est prise sur l'ensemble des cubes $Q$ de $\mathbb {R} ^{n}$ , l'expression $|Q|$ désigne la mesure de Lebesgue de $Q$ , et $f_{Q}$ désigne la moyenne de $f$ sur $Q$ : $f_{Q}={\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}f(x)\,\mathrm {d} x$ .

Par définition,

BMO=\{f\in \mathrm {L_{loc}^{1}} (\mathbb {R} ^{n})\mid \|f\|_{BMO}<\infty \}

.

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ (en) Fritz John et Louis Nirenberg, « On functions of bounded mean oscillation », Comm. Pure Appl. Math., vol. 14, n^o 3,‎ 1961, p. 415-426 (DOI 10.1002/cpa.3160140317).

Article connexe[modifier | modifier le code]

Oscillation (mathématiques)

Portail de l'analyse

[1] (en) Fritz John et Louis Nirenberg, « On functions of bounded mean oscillation », Comm. Pure Appl. Math., vol. 14, n^o 3,‎ 1961, p. 415-426 (DOI 10.1002/cpa.3160140317).

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