Formules trigonométriques en kπ/9

Cet article présente des formules trigonométriques faisant intervenir des angles multiples de π/9.

Valeurs approchées

Le nombre $\cos {\frac {\pi }{9}}=\cos 20^{\circ }=\sin {\frac {7\pi }{18}}=\sin 70^{\circ }$ a pour développement décimal : $0,9396926207...$ , suite A019879 de l'OEIS.

Le nombre $\sin {\frac {\pi }{9}}=\sin 20^{\circ }=\cos {\frac {7\pi }{18}}=\cos 70^{\circ }$ a pour développement décimal : $0,342020143...$ , suite A019829 de l'OEIS.

Constructibilité

Le nombre $\cos {\frac {\pi }{9}}$ n'est pas constructible (on peut déduire ce cas particulier du théorème de Gauss-Wantzel, en utilisant le théorème de Wantzel et l'équation de degré 3 ci-dessous), ce qui revient à dire qu'il n'existe pas de construction à la règle et au compas de l'ennéagone régulier.

Expression par radicaux

Le nombre $\cos {\frac {\pi }{9}}$ est exprimable par radicaux complexes : $\cos {\frac {\pi }{9}}={\frac {1}{2}}({\sqrt[{3}]{e^{i\pi /3}}}+{\sqrt[{3}]{e^{-i\pi /3}}})={\frac {1}{2{\sqrt[{3}]{2}}}}({\sqrt[{3}]{1+i{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{1-i{\sqrt {3}}}})$

mais n'est pas exprimable par radicaux réels. C'est le casus irreducibilis.

Polynômes minimaux

• L'équation $x^{3}-3x-1=0$ a pour solutions :

  $2\cos {\frac {\pi }{9}},\quad -2\cos {\frac {2\pi }{9}},\quad -2\cos {\frac {4\pi }{9}}$ ,

  ce qui montre que $\cos {\frac {\pi }{9}}$ est la moitié d'un entier algébrique.

Démonstration

Remarquons que $\cos {\frac {5\pi }{9}}=\cos \left(\pi -{\frac {4\pi }{9}}\right)=-\cos {\frac {4\pi }{9}}$ ; $\theta ={\frac {\pi }{9}}$ est donc solution de

$\cos 5\theta =-\cos 4\theta \quad (1)$ .

Cherchons les autres. (1) s'écrit $\cos 5\theta =\cos(\pi -4\theta )$ qui équivaut à $5\theta =\pi -4\theta +2k\pi$ ou $5\theta =4\theta -\pi +2k\pi$, et on obtient $\theta ={\frac {\pi }{9}}+2k{\frac {\pi }{9}}$ ou $\theta =-\pi +2k\pi$.

Si on pose $x=\cos \theta$, on remarque donc que (1) équivaut à $x=\cos {\frac {\pi }{9}},\cos {\frac {\pi }{3}}=1/2,\cos {\frac {5\pi }{9}}=-\cos {\frac {4\pi }{9}},\cos {\frac {7\pi }{9}}=-\cos {\frac {2\pi }{9}}{\text{ou}}-1$.

Or $\cos 5\theta =16x^{5}-20x^{3}+5x$ et $\cos 4\theta =8x^{4}-8x^{2}+1$.

Donc (1) équivaut à $16x^{5}+8x^{4}-20x^{3}-8x^{2}+5x+1=0$. $-1,1/2$ étant solutions, on peut factoriser par $(x+1)(2x+1)$ et on obtient que

(1) équivaut à $(x+1)(2x+1)(8x^{3}-6x-1)=0$.

En remplaçant $x$ par $x/2$ , on obtient que $x^{3}-3x-1=0$ a bien pour solutions $2\cos {\frac {\pi }{9}},-2\cos {\frac {2\pi }{9}},-2\cos {\frac {4\pi }{9}}$.

• L'équation $x^{3}-9x+9=0$ a pour solutions :

$2{\sqrt {3}}\sin {\frac {\pi }{9}},2{\sqrt {3}}\sin {\frac {2\pi }{9}},-2{\sqrt {3}}\sin {\frac {4\pi }{9}}$ , ce qui montre que $\sin {\frac {\pi }{9}}$ est le quotient d'un entier algébrique par $2{\sqrt {3}}$.

Démonstration succincte :

En utilisant les polynômes de Tchebychev et en factorisant on obtient $\sin 9t=x(4x^{2}-3)(64x^{6}-96x^{4}+36x^{2}-3)$ où $x=\sin t$. En changeant $x$ en $x/(2{\sqrt {3}})$ dans $64x^{6}-96x^{4}+36x^{2}-3$, on obtient $(x^{6}-18x^{4}+81x^{2}-81)/27$,

et $x^{6}-18x^{4}+81x^{2}-81$ se factorise bien en $(x^{3}-9x-9)(x^{3}-9x+9)$.

• L'équation $x^{3}-9x^{2}-9x+9=0$ a pour solutions :

${\sqrt {3}}\tan {\frac {\pi }{9}},-{\sqrt {3}}\tan {\frac {2\pi }{9}},{\sqrt {3}}\tan {\frac {4\pi }{9}}$ , ce qui montre que $\tan {\frac {\pi }{9}}$ est le quotient d'un entier algébrique par ${\sqrt {3}}$ .

Démonstration

En utilisant la formule $\tan nx={\frac {{\text{Im}}(1+i\tan x)^{n}}{{\text{Re}}(1+i\tan x)^{n}}}$, on obtient que $\tan 9\theta ={\frac {t(t^{8}-36t^{6}+126t^{4}-84t^{2}+9)}{1+...}}$, où $t=\tan \theta$.

Comme $\tan 9\theta =0\Leftrightarrow \theta =k\pi /9$, les 8 solutions de $t^{8}-36t^{6}+126t^{4}-84t^{2}+9=0$ sont $\pm \tan \pi /9,\pm \tan 2\pi /9,\pm \tan \pi /3,\pm \tan 4\pi /9$.

En remplaçant $t$ par $x{\sqrt {3}}$, on obtient que $x^{8}-108x^{6}+1134x^{4}-2268x^{2}+729=0$ a pour solutions $\pm {\sqrt {3}}\tan \pi /9,\pm {\sqrt {3}}\tan 2\pi /9,\pm {\sqrt {3}}\tan 3\pi /9=\pm 3,\pm {\sqrt {3}}\tan 4\pi /9$.

Or $x^{8}-108x^{6}+1134x^{4}-2268x^{2}+729=(x^{2}-9)(x^{3}+9x^{2}-9x-9)(x^{3}-9x^{2}-9x+9)$.

Une étude permet de déterminer que les solutions de $x^{3}-9x^{2}-9x+9=0$ sont ${\sqrt {3}}\tan {\frac {\pi }{9}},-{\sqrt {3}}\tan {\frac {2\pi }{9}},{\sqrt {3}}\tan {\frac {4\pi }{9}}$ et celles de $x^{3}+9x^{2}-9x-9=0$ leurs opposées.

Formules homogènes

On en déduit les fonctions symétriques élémentaires associées aux solutions des équations précédentes :

• ${\begin{cases}\cos {\frac {\pi }{9}}-\cos {\frac {2\pi }{9}}+\cos {\frac {4\pi }{9}}=0\\\cos {\frac {\pi }{9}}\cos {\frac {2\pi }{9}}\cos {\frac {4\pi }{9}}={\frac {1}{8}}\\\cos {\frac {\pi }{9}}\cos {\frac {2\pi }{9}}-\cos {\frac {\pi }{9}}\cos {\frac {4\pi }{9}}+\cos {\frac {2\pi }{9}}\cos {\frac {4\pi }{9}}={\frac {3}{4}}\end{cases}}$

La deuxième relation, qui s'écrit aussi $\cos 20^{\circ }\cos 40^{\circ }\cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}}$, s'appelle la première loi de Morrie.

• ${\begin{cases}\sin {\frac {\pi }{9}}+\sin {\frac {2\pi }{9}}-\sin {\frac {4\pi }{9}}=0\\\sin {\frac {\pi }{9}}\sin {\frac {2\pi }{9}}\sin {\frac {4\pi }{9}}={\frac {\sqrt {3}}{8}}\\\sin {\frac {\pi }{9}}\sin {\frac {2\pi }{9}}-\sin {\frac {\pi }{9}}\sin {\frac {4\pi }{9}}-\sin {\frac {2\pi }{9}}\sin {\frac {4\pi }{9}}=-{\frac {3}{4}}\end{cases}}$

La deuxième relation, qui s'écrit aussi $\sin 20^{\circ }\sin 40^{\circ }\sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}$, s'appelle la deuxième loi de Morrie.

• ${\begin{cases}\tan {\frac {\pi }{9}}-\tan {\frac {2\pi }{9}}+\tan {\frac {4\pi }{9}}=3{\sqrt {3}}\\\tan {\frac {\pi }{9}}\tan {\frac {2\pi }{9}}\tan {\frac {4\pi }{9}}={\sqrt {3}}\\\tan {\frac {\pi }{9}}\tan {\frac {2\pi }{9}}-\tan {\frac {\pi }{9}}\tan {\frac {4\pi }{9}}+\tan {\frac {2\pi }{9}}\tan {\frac {4\pi }{9}}=3\end{cases}}$

Voir aussi

• Formules trigonométriques en kπ/7
• Polynômes minimaux des valeurs spéciales trigonométriques
• Identités trigonométriques