Formule de Baker-Campbell-Hausdorff

En mathématiques, la formule de Baker-Campbell (en)-Hausdorff est la solution de l'équation :

$e^{Z}=e^{X}e^{Y}$

où $X$, $Y$ et $Z$ sont des matrices, ou plus généralement des éléments d'une algèbre de Lie d'un groupe de Lie.

Avec les crochets de Lie, elle s'écrit :

$Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}([X,[X,Y]]-[Y,[X,Y]])+\ldots$

Une formule reliée est la formule de Zassenhaus: $e^{X+Y}=e^{X}~e^{Y}~e^{-{\frac {1}{2}}[X,Y]}~e^{{\frac {1}{6}}(2[Y,[X,Y]]+[X,[X,Y]])}~e^{{\frac {-1}{24}}([[[X,Y],X],X]+3[[[X,Y],X],Y]+3[[[X,Y],Y],Y])}\cdots$

En particulier lorsque $X$et $Y$ commutent nous avons $e^{X+Y}=e^{X}e^{Y}$

Lorsque $X$ et $Y$ commutent avec leur commutateur (c'est-à-dire $[X,[X,Y]]=[Y,[X,Y]]=0$) le résultat se restreint à la formule dite de Glauber : $e^{X+Y}=e^{X}~e^{Y}~e^{-{\frac {1}{2}}[X,Y]}$. Elle est souvent appliquée en physique quantique avec les opérateurs position et impulsion $X$, $P$.

Voir aussi

• Algèbre de Lie
• Exponentielle d'une matrice
• Théorème d'Ado, qui permet de ramener le cas des algèbres de Lie au cas matriciel.