Forme de Maurer-Cartan

En géométrie différentielle, la 1-forme de Maurer-Cartan est une 1-forme différentielle particulière sur un groupe de Lie.

Définition

Soient :

• $G$, un groupe de Lie ;
• ${\mathfrak {g}}:=\mathrm {Lie} (G):=T_{e}G$, l'algèbre de Lie de $G$ ;
• $L:G\to \mathrm {Diff} (G);g\mapsto L_{g}$, l'action à gauche $L_{g_{1}}(g_{2})=g_{1}g_{2}$ de $G$ sur lui-même ;

Définition

La 1-forme de Maurer-Cartan sur $G$ est la 1-forme différentielle à valeurs en ${\mathfrak {g}}$ définie en tout $g\in G$ et sur tout $v\in T_{g}G$ par :

$\theta |_{g}(v):=(L_{g}^{-1})_{*}(v)\in T_{e}G={\mathfrak {g}}$.

Remarque

La 1-forme de Maurer-Cartan $\theta \in \Omega ^{1}(G;{\mathfrak {g}})$ vérifie l'équation structurelle de Maurer-Cartan :

$0=d\theta +{\frac {1}{2}}[\theta \wedge \theta ]$.

Bibliographie

(en) Shoshichi Kobayashi (en) et Katsumi Nomizu (en), Foundations of Differential Geometry, 1963