Fibré adjoint

En géométrie différentielle, le fibré adjoint est un fibré vectoriel associé particulier d'un $G$-fibré principal. Il joue un rôle important en théorie de jauge où les transformations de jauge infinitésimales, les vecteurs tangents à l'espace des formes de connexions et la 2-forme de courbure sont toutes des formes différentielles à valeurs dans le fibré adjoint.

Définition

Soient :

• $G$, un groupe de Lie ;
• ${\mathfrak {g}}:=\mathrm {Lie} (G):=T_{e}G$, l'algèbre de Lie de $G$ ;
• $B$, une variété différentielle ;
• $\pi :P\to B$, un $G$-fibré principal sur $B$ ;
• $\Phi :G\to \mathrm {Diff} (P)$, l'action de groupe à droite de $G$ sur $P$ ;
• $\mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})$, la représentation adjointe de $G$ sur son algèbre de Lie ${\mathfrak {g}}$.

Définition : Le fibré adjoint à $P$ est le fibré associé suivant :

$\mathrm {Ad} P:=P\times _{\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}$

Exemples de sections du fibré associé

Exemples :

• Toute transformation de jauge infinitésimale correspond à une 0-forme différentielle à valeurs en le fibré adjoint.
• Tout vecteur tangent de l'espace des formes de connexions correspond à une 1-forme différentielle à valeurs en le fibré adjoint.
• La 2-forme de courbure d'une forme de connexion est une 2-forme différentielle à valeurs en le fibré adjoint.

Structure d'algèbre sur les sections du fibré adjoint

La représentation adjointe $\mathrm {Ad}$ préserve le crochet de Lie :

$[\mathrm {Ad} _{g}(\xi _{1}),\mathrm {Ad} _{g}(\xi _{2})]=\mathrm {Ad} _{g}[\xi _{1},\xi _{2}],\qquad \forall g\in G,\;\forall \xi _{1},\xi _{2}\in {\mathfrak {g}}$

Étant $\mathrm {Ad}$-équivariant, le crochet de Lie descend à une forme bilinéaire antisymétrique définie fibre par fibre pour le fibré adjoint :

$[\cdot ,\cdot ]:\mathrm {Ad} P\times \mathrm {Ad} P\to \mathrm {Ad} P$

Ceci donne, en retour, une structure d'algèbre de Lie aux sections du fibré adjoint :

$[\cdot ,\cdot ]:\Gamma (\mathrm {Ad} P)\times \Gamma (\mathrm {Ad} P)\to \Gamma (\mathrm {Ad} P)$

Combiné avec le produit extérieur sur les formes différentielles, ceci définit un produit crochet-extérieur sur les formes différentielles à valeurs en le fibré adjoint  :

$[\cdot \wedge \cdot ]:\Omega ^{p}(B;\mathrm {Ad} P)\times \Omega ^{q}(B;\mathrm {Ad} P)\to \Omega ^{p+q}(B;\mathrm {Ad} P)$

Références

• 1986, S. K. Donaldson & P. B. Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds.