Fibré adjoint

En géométrie différentielle, le fibré adjoint est un fibré vectoriel associé particulier d'un $G$ -fibré principal. Il joue un rôle important en théorie de jauge où les transformations de jauge infinitésimales, les vecteurs tangents à l'espace des formes de connexions et la 2-forme de courbure sont toutes des formes différentielles à valeurs dans le fibré adjoint.

Définition[modifier | modifier le code]

Soient :

$G$ , un groupe de Lie ;
${\mathfrak {g}}:=\mathrm {Lie} (G):=T_{e}G$ , l'algèbre de Lie de $G$ ;
$B$ , une variété différentielle ;
$\pi :P\to B$ , un $G$ -fibré principal sur $B$ ;
$\Phi :G\to \mathrm {Diff} (P)$ , l'action de groupe à droite de $G$ sur $P$ ;
$\mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})$ , la représentation adjointe de $G$ sur son algèbre de Lie ${\mathfrak {g}}$ .

Définition

Le fibré adjoint à $P$ est le fibré associé suivant :

\mathrm {Ad} P:=P\times _{\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}

Exemples de sections du fibré associé[modifier | modifier le code]

Toute transformation de jauge infinitésimale correspond à une 0-forme différentielle à valeurs en le fibré adjoint ;
Tout vecteur tangent de l'espace des formes de connexions correspond à une 1-forme différentielle à valeurs en le fibré adjoint ;
La 2-forme de courbure d'une forme de connexion est une 2-forme différentielle à valeurs en le fibré adjoint.

Structure d'algèbre sur les sections du fibré adjoint[modifier | modifier le code]

La représentation adjointe $\mathrm {Ad}$ préserve le crochet de Lie :

[\mathrm {Ad} _{g}(\xi _{1}),\mathrm {Ad} _{g}(\xi _{2})]=\mathrm {Ad} _{g}[\xi _{1},\xi _{2}],\qquad \forall g\in G,\;\forall \xi _{1},\xi _{2}\in {\mathfrak {g}}

Étant $\mathrm {Ad}$ -équivariant, le crochet de Lie descend à une forme bilinéaire antisymétrique définie fibre par fibre pour le fibré adjoint :

[\cdot ,\cdot ]:\mathrm {Ad} P\times \mathrm {Ad} P\to \mathrm {Ad} P

Ceci donne, en retour, une structure d'algèbre de Lie aux sections du fibré adjoint :

[\cdot ,\cdot ]:\Gamma (\mathrm {Ad} P)\times \Gamma (\mathrm {Ad} P)\to \Gamma (\mathrm {Ad} P)

Combiné avec le produit extérieur sur les formes différentielles, ceci définit un produit crochet-extérieur sur les formes différentielles à valeurs en le fibré adjoint :