Discussion:Théorème de Cantor-Bernstein

Voir ma nouvelle démonstration qui tient en deux ou trois lignes modulo un lemme qui devrait être mieux connu.--Spoirier 19:42, 11 novembre 2005 (CET)

Dans la première démonstration, j'ai supprimé la partie qui montrait que les $C_{i}$ étaient disjoints et qui, sauf erreur de ma part, n'est pas indispensable pour la suite. Il conviendrait également d'intégrer dans la l'article la démo de Spoirier ci-dessus, qui est fort intéressante. Mais garde-t-on alors les trois démos, ou alors une seule seulement, la plus courte ? Theon 24 février 2006 à 15:47 (CET)

Tant que les démonstrations sont vraiment différentes, autant présenter les trois : wikipedia a une vocation encyclopédique, non ? Donc on peut se permettre de montrer toute la richesse des mathématiques. Et comme ce n'est pas une science figée, il serait aussi intéressant de présenter les différentes preuves historiques. Meskiangasher 21 mars 2006 à 20:26 (CET)

La troisième démonstration est sourcée. Quid de sourcer les première et deuxième démonstrations ? Aussi, je suggère de remplacer "première", "deuxième", "troisième" par des adjectifs où les noms des auteurs des démonstrations ː Cantor, Bernstein, etc. Je ne suis pas spécialiste donc je peux pas le faire. Bonne soirée. --Fschwarzentruber (discuter) 22 juillet 2017 à 20:38 (CEST)

Corollaires et liens à ecrire

il faudrait une section Corollaires et des liens depuis surjection, injection, bijection.

il faudrait (pour cela/aussi) préciser dans quel mesure (AC ?) on peut passer d'une surjection de B sur A à une injection de A sur B et inversement. (voir aussi un point à préciser)   <STyx

Il faut préciser que le produit de 2 applications injectives est une application injective. Dans la démonstration du théorèm( première démonstration finale), il n'est pas prouvé que la restriction à g est bijective, en vertu de quel théorème? Si cela avait été le cas on aurait tout simplement dit que la restriction de l'image de f dans F est bijective. Il manque quelque chose pour rendre cette démonstration correcte.

Le fait que la composée de deux injections est une injection n'est pas l'objet de cet article. La propriété figure dans l'article injection vers lequel pointe le présent article. Le fait que g, étant injective de F dans E, est bijective de F sur B = g(F), relève de la définition de g(F). Theon (d) 26 février 2008 à 18:56 (CET)

Est-on assuré que B n'est pas l'ensemble vide?Walkanaers le 27 février 2008

Donc dans l'énoncé il faut préciser que E et F ne sont pas vides, même si cela semble évident. On aurait préférer traiter le cas où E et F sont des ensembles disjoints pour compléter la démonstration.

Si B = g(F) est vide, alors F est vide (ainsi que E). Theon (d) 27 février 2008 à 17:53 (CET)

Donc dans l'énoncé il faut préciser que E et F ne sont pas vides, même si cela semble évident. On aurait préférer traiter le cas où E et F sont des ensembles disjoints pour compléter la démonstration.Walkanaers.

Voici l'énoncé du théorème de Cantor Bernstein (tiré de Topology without Tears de Sidney Morris page 34)

"Soit S et T deux ensembles. Si S est équipotent à un sous ensemble de T et si T est équipotent à un sous ensemble de S, alors S est équipotent à T.

Si E et F sont vides, ils sont en bijection et la démonstration de l'article reste parfaitement valable. Il n'y a donc pas lieu de les supposer non vides. De même, le fait que E et F soient disjoints ou non n'a aucune importance. Theon (d) 28 février 2008 à 08:02 (CET)

Si seulement un des ensembles E ou F est vide?

C'est incompatible avec les hypothèses. Theon (d) 28 février 2008 à 20:57 (CET)

La démonstration de Kelley est fausse

Ayant regardé la conférence de Leslie Lamport, j'y découvre que la 3ème démonstration de cet article est due à Kelley et qu'elle est fausse. Leslie Lamport ne précise pas pourquoi elle est fausse (la question lui est posée par le public mais il laisse la réponse en exercice), et je n'ai pas été très convaincu jusqu'à ce que, reproduisant celle-ci en cours, j'y découvre l'erreur moi-même. J'ai donc indiqué ceci dans l'article mais je ne sais pas bien quoi faire pour rester encyclopédique : doit-on laisser la démonstration en mentionnant qu'elle comporte une erreur, après tout c'est historique cette démonstration figure dans un bouquin de 1955, ou faut-il l'enlever purement et simplement ?

Je suis joueur, comme Lamport je laisse l'erreur à trouver en exercice aux lecteurs, mais je la préciserai bientôt dans l'article.

-- Laurent de Marseille (discuter) 30 janvier 2017 à 08:17 (CET)

Bien vu, mais la preuve est quand même essentiellement correcte, il suffit de la corriger avec une bonne référence (il y en a plusieurs, le bouquin de Kolmogorov Fomin, chez Mir, Cori-Lascar tome II ...). La preuve semble être due initialement (voir version en:) à J. König, « Sur la théorie des ensembles », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, vol. 143,‎ 1906, p. 110–112 (lire en ligne), ne fait pas la petite simplification abusive de Kelley (qui est je suppose l'erreur en question), et complique un tout petit peu par ailleurs, la version en: le suit. Formellement il faut de toute façon définir par récurrence sur N chaque suite (donc l'erreur est vraiment très superficielle, les ancêtres sont naturellement numérotés). Même si cette rédaction n'est pas explicite (Kolmogorov est explicite par exemple), cette preuve demande d'avoir les entiers, elle paraît quand même plus intuitive que celle de Tarski (qui par contre n'en a pas besoin). Proz (discuter) 30 janvier 2017 à 21:43 (CET)

C'est vrai, la preuve est très facile à corriger, en fait l'erreur vient d'avoir oublié (ce que ne font en effet ni König, ni la version anglaise) que certaines séquences peuvent être cycliques. Je corrige l'article (et grand merci à Proz pour la précieuse référence sur l'article de König).

-- Laurent de Marseille (discuter) 30 janvier 2017 à 22:28 (CET)

Bon la preuve est corrigée et j'ai enlevé la référence à la conf de Lamport qui n'a plus grand chose à faire ici, du coup il n'y a aucune référence, Proz je te laisse copier dans l'article ce que tu dis ci-dessus, ça semble complètement pertinent.

-- Laurent de Marseille (discuter) 30 janvier 2017 à 22:56 (CET)

Oui mais ce que je dis serait à sourcer. J'ai corrigé autrement : en fait c'est bien plus naturel de construire la suite que l'ensemble des ancêtres, qui utilise sans l'expliciter la définition de la même suite, c'est pour ça à mon avis que l'erreur n'est pas évidente, on lit en pensant à la suite. Mais j'ai remis Lamport et du coup réintroduit autrement les cycles en note.

Le dessin que je connais et utilise pour illustrer la preuve est plus dans le style de en: (va et vient).

On pourrait je pense attribuer les preuves plutôt que de les numéroter, la première doit être celle de Bernstein (à vérifier dans Borel), la seconde est celle de Tarski (ça ne coûterait pas grand chose de redémontrer le cas particulier du lemme de point fixe utile), il faudrait voir si celle de Dedekind-Zermelo (que je ne connais pas je sais juste qu'elle n'utilise pas les entiers) est très différente, et la troisième de König. Il me semble qu'il faudrait commencer par celle de König, et terminer par celle de Tarski. Celle de Bernstein a au moins un intérêt historique, et on la trouve encore aussi. Proz (discuter) 31 janvier 2017 à 01:54 (CET)

Précision

Bonjour, Je suis complétement néophyte en théorie des ensembles et logique, j'ai beaucoup apprécié la première démonstration (j'ai vachement galéré à comprendre la seconde, et la troisième est juste hors de portée pour moi). Après lecture de l'introduction, en supposant que les deux première démonstrations présentées correspondaient à peu près à des démonstrations historiques, j'ai fait cette supposition:

• La première démonstration, qui ne fait pas appel à des notions de "très hauts niveaux" correspondrait à celle de Bernstein.
• La deuxième démonstration serait une actualisation de celle de Zermelo et Dedekind.

Je me plante très probablement, mais du coup, je pense que ce serait vachement sympa de la part des connaisseurs de préciser la provenance au début de chacune des démonstrations, parce qu'en plus ça permettrait de se faire une petite idée sur l'histoire des concepts utilisés.

Merci d'avance --Un autre type (discuter) 16 mars 2018 à 18:06 (CET)

C'est ça, mais il faudrait vérifier dans le détail pour le mettre effectivement dans l'article, et rédiger probablement un peu différemment (d'ailleurs c'est la principale justification pour conserver ces 3 démonstrations), pour celle de Bernstein c'est compliqué car il ne l'a publiée que très tard, alors que Borel l'avait déjà publiée (et peut-être adaptée). J'ai toujours pensé que celle de König était la plus simple à comprendre, par ailleurs (voir sur la version en: une illustration probablement plus parlante), en tout cas elle n'est pas de plus haut niveau, et celle de Zermelo ne fait même pas appel aux entiers ... Proz (discuter) 16 mars 2018 à 19:10 (CET)

Merci beaucoup pour cette réponse rapide, Proz . J'ai regardé de plus près la troisième démonstration... Et à tête reposée, c'est vrai qu'elle est simple, je pense que j'étais plus très frais quand je m'y suis attaqué hier (et je crois que le mot "disjoint" m'a fait peur). Je préfère quand même la première démonstration, car le coup des compositions correspond à la démarche intuitive (je suis un gros bourrin qui commence toujours par le chemin qui me semble le plus direct) et la construction de v (la bijection de E dans B) par la construction d'un ensemble contenant E\B et stable par u est top (je l'ai tout de suite placé dans ma boîte à outil, section "fonction injective"). 
 En tant qu'utilisateur qui a énormément appris en lisant cette page, je tiens à préciser que le fait de présenter autant de démonstrations que possible n'a pas qu'un intérêt historique, mais aussi pédagogique, donc que vous précisiez ou non la provenance des démonstrations, je vous supplie de laisser lesdites démonstrations sur la page.

Merci encore

--Un autre type (discuter) 17 mars 2018 à 11:55 (CET)

Source des démonstrations

Bonjour à tous,

Est-ce qu'un mathématicien peut donner des sources pour les démonstrations ? Merci d'avance et bonne soirée. --Fschwarzentruber (discuter) 14 octobre 2018 à 00:09 (CEST)

Je ne remets pas en cause les démonstrations. Les sources sont utiles pour garantir que ce n'est pas du travail inédit, pour inscrire ces démonstrations dans l'histoire des mathématiques, pour valider la pertinence de donner ces démonstrations sur wikipedia. --Fschwarzentruber (discuter) 31 janvier 2019 à 18:42 (CET)

Elles sont sourcées, non (enfin, la troisième directement, la seconde est une application du théorème de Knaster-Tarski) ? Plus utile serait de redonner l'erreur de la démonstration de Schroeder. Les notes me semblent assez précises (la pertinence, c'est autre chose : il faudrait des sources secondaires montrant que telle ou telle démonstration est plus pertinente qu'une autre, et ça, en mathématiques, c'est rare qu'on l'ait...)--Dfeldmann (discuter) 31 janvier 2019 à 21:06 (CET)

(conflit d'édition, réponse à Fs.) Ce n'est pas ça le problème. Dans ce cas le modèle à utiliser est Modèle:Référence souhaitée, voir la documentation de Modèle:Référence nécessaire qui indique clairement qu'il s'agit d'une remise en cause. Ceci dit chercher et indiquer soi-même une source est aussi possible... (je précise que je l'ai déjà pas mal pratiqué sur cet article comme ça peut facilement se constater). Proz (discuter) 31 janvier 2019 à 21:12 (CET)

Pour l'erreur de Schröder : ça peut se faire à partir de Hinkis 2013 (le problème est aussi que Schröder a un style manifestement assez illisible, mais je crois comprendre qu'il y a une erreur bien identifiable). Les 3 démonstrations sont intéressantes au moins sur le plan historique (celle par Knaster-Tarski, qui est je crois dans leur article, est essentiellement celle de Dedekind, je compte un jour la reprendre dans ce sens). Dans les 3 démonstrations, on a des constructions du point fixe différentes, ce qui est intéressant. Proz (discuter) 31 janvier 2019 à 21:28 (CET)

Merci pour la correction de "Référence nécessaire" en "Référence souhaitée". --Fschwarzentruber (discuter) 31 janvier 2019 à 22:26 (CET)

Lemme préliminaire démo 1

Bonjour, sur la démo 1 le lemme préliminaire annonce une fonction injective u : A → B avec B ⊆ A. Par inclusion de B dans A comment u pourrait-elle alors être injective, une fonction f : E → F étant injective ⇒ Card(E) ≤ Card(F) ? Dans ce cas pour assurer l'injectivité il faudrait alors que B = A et u serait bijective ce qui rendrait ce lemme inutile et n'avancerait en rien la démonstration du théorème ?

Ah bon ? Pourtant l´application n -> 2n de A = les entiers et B = les entiers pairs est injective, non ?--Dfeldmann (discuter) 20 juillet 2019 à 08:29 (CEST)

Je ne pense pas non plus qu'il y ait de soucis avec le lemme préliminaire. Par contre, quid de rajouter une source ? (je ne sais pas de quel livre est inspiré cette démonstration) Bonne journée. Fschwarzentruber (discuter) 20 juillet 2019 à 10:29 (CEST)

Tout d'abord, merci à tous pour l'aide apportée à un autodidacte débutant en mathématiques. Oui elle est bien injective et on a bien 2N ⊊ N et |2N| = ℵ₀ = |N| (|2N| = ℵ₀ car dénombrable? → débutant). Cette égalité si égalité il y a, donne pour vrai (table du ou logique) |2N| ≤ |N| tout comme |N| ≤ |2N| ainsi l'implication est vraie. Ces arguments me permettent-ils de valider l'intégralité des informations sur ce cas (hors injectivité triviale) ? (merci encore au passage pour cet exemple avec des ensembles infinis dénombrables).

Mais cette application n'est elle pas naturellement bijective puisque chaque élément de N est associé à son double, ainsi la validation du lemme est instantanée et ne motive pas l'établissement de la démonstration qui lui succède? Y aurait-il au moins un exemple dans chacun des cas: ensembles finis (je ne vois pas comment) , ensembles infinis dénombrables et ensembles infinis non-dénombrables pour lequel u n'est pas trivialement bijective motivant le raisonnement suivit dans la démonstration? Ou peut être que par incompréhension ou lacunes je ne vois pas l'évidence de cette motivation pour tous cas d'ensembles pris quelconques ? --Georg Zorn (discuter) 20 juillet 2019 à 22:50 (CEST)

En mathématiques, même (et surtout) pour les débutants, il est prudent d’énoncer avec précision ce qui gêne dans tel ou tel argument. Ici, vous étiez d’abord victime de l’illusion selon laquelle, si B est inclus dans A et s’il y a une injection de A vers B, on doit avoir A=B. Je vous ai détrompé. Vous pensez à présent (à raison sur mon exemple, mais ce n’était pas son but ) que la deuxième injection (donnée par n -> 2n) étant une bijection, il n’y a toujours rien de non trivial dans le lemme. Cette fois, je vous propose donc les mêmes A et B, mais l’injection n->4n ; j’espère vous convaincre mieux ainsi...—Dfeldmann (discuter) 21 juillet 2019 à 00:04 (CEST)

Dfeldmann a tout à fait raison et pour un autre contre exemple qu'il ne suffit pas que 1/ A s'injecte dans B, 2/ B inclus dans A, 3/ A et B même cardinalité, pour que 4/ A=B, prendre comme avant f(n) = 2n, A = ensemble des entiers, et B cette fois = ensemble des entiers pairs union {1} = {0, 1, 2, 4, 6, 8, ...}. La clef est que A et B sont infinis et ce qui marche pour le fini ne s'y applique pas ; voyez l'article Hôtel de Hilbert sur le sujet et retenez aussi qu'un ensemble est infini ssi il est bijectable avec une partie stricte de lui-même. Sinon,  Georg Zorn :, sachez, si vous l'ignorez, qu'un autre Zorn a travaillé sur une autre version de l'axiome du choix dont parle en creux ce présent article ;-) . --Epsilon0 ε₀ 21 juillet 2019 à 02:33 (CEST)

Oui je sais c'est d'ailleurs devant le refus de devoir admettre ce lemme sans démonstration que j'entame un cours sur la théorie ZFC pour désobscurcir bien d'autres points. Merci me voilà enfin libéré « vers l'infini, et au-delà ! » Buzz l'Éclair.--Georg Zorn (discuter) 22 juillet 2019 à 02:18 (CEST)

Lemme "préliminaire" est la partie principale de la démonstration. A-t-il un nom propre ? --Myosci (discuter) 4 décembre 2022 à 19:00 (CET)

Démo 1: Taille des C_n

Bonjour. Peut-on affirmer que lim en +∞ de Card(C_n)=0 ?

D'avance merci pour vos réponses.

Certainement pas. Tous les C_n ont le même cardinal. Par contre, en un certain sens, lim en +∞ de C_n est vide. Mais la fonction "cardinal" n'est pas continue.--Dfeldmann (discuter) 23 juillet 2019 à 19:41 (CEST)

Oui il n'y a pas continuité. Mon dessin me laissait croire à tort une diminution de taille des C_n d'où cette mauvaise intuition. Merci.