Discussion:Système de numération

à compléter avec des formules

Si quelqu'un avait l'obligeance de completer cet article par les formules idoines, je lui en serais reconnaissant, parce que je ne connais rien à Latex, malheureusement...

pb avec l'Ascii

(copié le 11-2-2004 de Discussion Utilisateur:FvdP par FvdP:)

Bonjour. Tu as écrit "D'une certaine manière, l'ASCII peut être interprété comme une numération en base 256". Je ne partage pas l'idée. L'ASCII comporte 256 codes parce que l'ordinateur travaille en binaire et l'utilisateur en hexa, donc le nombre de codes découle de l'opération 16²=256. Mais à l'inverse, personne à ma connaissance n'a jamais eu l'intention d'utiliser une numération de base 256. AMHA, on pourrait oublier cette référence ; il y a sans doute mieux à dire sur la numération. Cham 5 fév 2004 à 21:10 (CET)

En fait, ce n'est pas moi qui ait écrit la phrase. J'ai simplement remplacé par "interprété" qqch qui était à mon avis encore pire, je ne sais plus quoi. Je suis d'accord avec toi sur le peu d'intérêt de la remarque sur le lien entre ASCII et base 256. FvdP 11 fév 2004 à 19:29 (CET)

Dont acte. Cham 11 fév 2004 à 19:55 (CET)

Et les chiffres ?

Cet article ne parle pas des chiffres, il y a un problème. Marc Mongenet 12 déc 2004 à 23:02 (CET)

Déplacement du corps de l'article

J'ai provisoirement déplacé ces deux ajouts du corps de l'article car il me semble constituer des hors sujet. La première partie consiste à décrire l'usage du nombre (classifier, dénombrer, mesurer). Il me semble être mieux adapté à l'article Nombre. D'autant qu'il semble y avoir confusion entre numération et numérotation. Cet article s'attache à parler des système d'écriture du nombre. Ce qui amène à discuter de la seconde partie : la numération parlée. Dans l'état actuel de l'article, il est hors sujet. Sauf si on envisage d'élargir le champ d'action et de définir le système de numération comme le moyen d'écrire et de dire le nombre. Qu'en pensez-vous ? HB 7 juillet 2005 à 12:11 (CEST)

OK pour moi. Mais je ne suis pas l'auteur de la partie 'gestuelle ou parlée'. j'avais ajouté les titres pour plus de clarté. FrViPofm 7 juillet 2005 à 16:08 (CEST)

• ===Mesure et comptage=== (déplacé dans nombre)

• ===Numération gestuelles ou parlées=== (remis dans l'article, ce titre correspond aux actuels paragraphes "Énonciation" et "Techniques de numération")===

L'article n'est pas assez général.

Il devrait présenter les différents types de numération (à base constante, à base non constante etc..). Par exemple PI s'écrit 2.22222 ... en base (1,1/3,2/5,...). Cet article passe à coté de l'essentielle: la complexité d'une quantité dépend de la base de représentation...

Ces informations auraient plutôt leur place à l'article Base (arithmétique) qui figure en lien dans les articles connexes. Baleer 18 octobre 2007 à 22:31 (CEST)

Fusion avec Numération ?

Il me semblait raisonnable de fusionner cet article avec Numération, postérieur et non lié à d'autres wikis, mais la catégorisation semble faire une distinction en « numération » et « système de numération » que j'ai du mal à cerner. Si quelqu'un peut préciser cela, merci.--Ambigraphe, le 29 août 2007 à 19:22 (CEST)

Un système de numération correspond à un ensemble de règles régissant une numération donnée. Ces règles définissent la manière dont se forment et se positionnent les chiffres pour écrire les nombres, la manière dont se forment et s'articulent les unités syntaxiques pour énoncer ces nombres, la manière dont se forment et s'enchainent les gestes pour les communiquer visuellement.

Une numération concerne la représentation des nombres, au-delà de la composition systématique de ceux-ci. Ce terme est donc plus général que les précédents, car il ne se rapporte pas spécifiquement aux règles de construction.

La différence, cependant, n'est pas énorme, en effet. Néanmoins, la séparation en deux articles distincts permet de traiter des aspects généraux d'une part, et des aspects plus techniques d'autre part, tout en réduisant la longueur de l'article. Les interwikis, quant à eux, se mettent en place petit à petit. Mais il serait bien de récolter quelques avis sur la question. Baleer 18 octobre 2007 à 22:31 (CEST)

Effectivement, il vaut mieux garder les deux articles. Entre-temps, j'ai dû faire un cours sur la numération et la différence est devenue plus claire pour moi. Je compte refondre ces deux articles (ainsi que l'article Nombre) pour le prochain Wikiconcours. Ambigraphe, le 19 octobre 2007 à 11:00 (CEST)

Pourquoi

Pourquoi une allusion à ce que des hommes préhistoriques pouvaient ou pas penser... pourquoi parler d'addition, multiplication... ce qui exclut a priori les numérations des peuples sans écriture et sans arithmétique. On peut compter sans avoir développé les techniques opératoires L'exemple breton demi-cent n'est pas une division, c'est une détermination (à valeur multiplicative, si vous voulez) par un déterminant numéral plus petit que un, et c'est pour cela que les analphabètes en maths ou linguistique y voient une division. --2A01:E35:2E6A:6950:A0B3:E567:5711:3B07 (d) 29 mars 2013 à 17:19 (CET)

L'addition et la multiplication se retrouvent bien dans le langage : dans "vingt-trois" transparait une addition (20 + 3) ; dans "deux-cents" transparait une multiplication (2 x 100), etc. De même, concernant un peuple sans écriture, il suffit d'analyser la manière dont les nombres sont exprimés pour savoir quelles opérations, même inconscientes, sont effectuées. D'ailleurs, l'existence de l'écrit n'implique pas que celui-là coïncide parfaitement avec l'oral (quatre-vingt renvoie à 4 x 20, mais aucune trace de système vicésimal à l'écrit dans 80). Pour ce qui est du breton "hanter", il s'emploie bien pour "moitié". Baleer (discuter) 18 juillet 2014 à 02:56 (CEST)

Système d'Avizienis

Merci Baleer (d · c · b) de me faire découvrir les systèmes de numération d'Avizienis, mais je sens comme un problème dans la définition du système redondant : tu ne donnes aucune condition sur ω. Or il me semble qu'il est nécessaire (a minima) que ω soit négatif ou nul. Du coup, j'ai cherché des sources et j'ai toujours trouvé le système d'Avizienis associé à des chiffres compris entre -a et a avec a ≤ β -1 et 2a ≥ β - 1 (redondant quand 2a > β - 1 car alors certains nombres ont plusieurs écritures possibles). Pourrais-tu vérifier ta définition et mettre une source dessus? Merci. HB (discuter) 22 juillet 2014 à 09:05 (CEST)

Condition sur ω et référence ajoutée. L'utilisation de chiffres négatifs n'est pas formellement obligatoire, mais c'est le seul cas présentant un intérêt pratique évident, d'où les exemples respectant généralement cette condition. Baleer (discuter) 22 juillet 2014 à 13:09 (CEST)

Merci pour la source mais est-elle fiable ? Dans la source, il est écrit que pour q > β - 1 l'ensemble couvert par l'écriture est un espace connexe de Z. Or cela me parait grossièrement faux. Par exemple pour S_3,2,3,n où l'on doit écrire avec les chiffres 2,3,4, les premiers nombres que l'on peut écrire sont 2, 3, 4, 8 (22), 9(23), 10(24), .... Je demande au Thé s'il n'y aurait pas une source plus fiable pour le système d'Avizienis. HB (discuter) 22 juillet 2014 à 14:09 (CEST)

Il faudrait pousser l'investigation plus loin, pour lever le doute, mais je ne vois pas de contradiction majeure. Avec le système proposé, on peut bien écrire 5 de cette manière 4,3, mais non 6. Il semble que ce soit un cas de numération incomplète de même que lorsque q < β - 1. Je n'avais pas mis la source, car elle est problématique, notamment par son absence de bibliographie. Baleer (discuter) 22 juillet 2014 à 15:06 (CEST)

En fait, je réfléchissais de mon côté et je crains bien que la grossière erreur soit ... de mon fait. Ta source dit que les entiers que l'on peut écrire avec S_3,2,3,n est connexe et en effet, si on se limite aux nombres utilisant exactement n chiffres de la base, l'ensemble est bien connexe (mon contre-exemple mélange les nombres s'écrivant avec S_3,2,3,1 et S_3,2,3,2. HB (discuter) 22 juillet 2014 à 15:22 (CEST)

La mention des systèmes d'Avizienis n'était pas claire, puisque rien n'indiquait la restriction sur le nombre de chiffres. Leur mention dans un paragraphe séparé concernant l'électronique et l'informatique est maintenant plus claire. Et pour ce qui est des détails de ces systèmes, ils trouveront leur place dans un article spécifique le cas échéant. Baleer (discuter) 23 juillet 2014 à 01:01 (CEST)

Bibliographie

j'ai supprimé sans état d'âme le seul ajout bibliographique Aimé Mariage, Numération par huit anciennement en usage par toute la terre, prouvée par les Koua des Chinois, par la Bible, par les livres d'Hésiode, d'Homère, d'Hérodote, etc., 1857, 243 pages. surtout après l'étude critique trouvée par Anne Bauval :

« L'auteur n'a que le défaut d'être systématique et, malgré quelques intuitions tout à fait justes, se conduit à l'égard du fameux chiffre huit comme un amoureux délirant. […] les élucubrations d'Aimé Mariage […] — tout réduire à ce fameux nombre par une série de démonstrations vertigineuses […] » — Jean-Marie Lhôte, Le symbolisme des jeux, Univers Poche, 2014 (1^re éd. 1976).

Il me semble qu'il faut savoir raison garder et constituer une bibliographie pertinente sur le sujet de la numération avant de citer des livres marginaux. HB (discuter) 27 avril 2016 à 11:40 (CEST)

système vigésimal

il existe aussi en breton Bianchi-Bihanig (discuter) 10 novembre 2022 à 09:14 (CET)

Confusion "base k usuelle" et "k-adique"

Il me semble qu'il y a quelques confusions dans l'article entre deux notions proches, mais différentes: *la numération de base k usuelle, qui utilise le zéro positionnel et k-1 chiffres non nuls,

*la numération k-adique, système bijectif de base k, qui utilise k chiffres non nuls.

Exemple de telle confusion : "La représentation q-adique, ou écriture en base q: tout entier naturel s'écrit de manière unique comme .....".

Je vais essayer de dissiper ces confusions qui générent de l'imprécision. Olinone (discuter) 17 mars 2023 à 08:27 (CET)

Définition: référence à Georg Cantor imprécise ou erronée?

Je suis intrigué par le contenu du passage faisant référence à Georg Cantor référence, passage dont je reprends la notation, même si elle est un peu déroutante .

Si on applique ce qui est écrit, et en admettant que zéro est un entier naturel, il n'est pas vrai qu'il existe une seule représentation de N dans tout système appliquant les règles indiquées. En effet, par exemple, en décimal usuel on peut, en respectant les règles en question, écrire "1", "01", "001". Or ces trois représentations sont celles du même nombre 1!

Donc soit Cantor a considéré que le "m" de son raisonnement ne pouvait pas être nul (auquel cas il n'aurait défini et étudié que les systèmes bijectifs), soit il indique qu'une représentation ne peut pas commencer par 0, même si ce chiffre est une valeur admissible de m.

Quelqu'un aurait-il une explication? Olinone (discuter) 17 mars 2023 à 08:43 (CET)

Je pense que cela provient de la précision apportée par  Anne Bauval : en avril 2016 qui parle de «suite finie» alors que le texte de Cantor (lire p. 121) parle bien, lui, de suite infinie. Dans les faits, la suite est effectivement nulle à partir d'un certain rang (sinon impossible en sommant d'obtenir un naturel). Je serais d'avis de faire disparaitre cette précision. HB (discuter) 17 mars 2023 à 13:55 (CET)

HB , merci de votre réponse. En vérifiant une référence de Michel Rigo, et comme constaté dans le reste de l'article WP, les affirmations selon lesquelles une représentation est unique en base k usuelle (en anglais parfois appelée k-ary par opposition à k-adic) sont bien accompagnées de la condition selon laquelle la numération k-ary n'accepte pas le chiffre "0" en début de chaîne descriptive. Je ne comprends pas assez l'allemand pour oser affirmer si Cantor avait, ou non, écrit cette condition. Je propose donc de supprimer toute référence à Cantor (malgré tout le respect que j'ai pour cet illustre mathématicien), et de faire référence à Michel Rigo, de façon consultable suivant le lien suivant : https://archive.org/details/arxiv-1204.5887 (pour lire la totalité des 21 pages en anglais, il suffit de souscrire un abonnement gratuit). Merci de m'indiquer si vous êtes d'accord. Cdlt. Olinone (discuter) 17 mars 2023 à 17:00 (CET)

Je trouverai dommage de priver l'article de la mention de Cantor qui est la référence historique (1869) concernant les bases dites mixtes (appelées souvent base de Cantor). Je pense que l'on peut conserver en suprimmant seulement le mot «fini». Je te confirme que l'article de Cantor prend des suites sur $\mathbb {N}$. HB (discuter) 17 mars 2023 à 18:59 (CET)

Oui, je suis d'accord que se priver de la référence Cantor serait dommage. Ma question n'est pas le papier de Cantor, ni d'ailleurs l'extension qu'on y trouve aux nombres réels par des suites infinies, mais ce qui est écrit dans le texte de l'article : "Il démontre qu'un tel système est « simple », c'est-à-dire représente chaque entier N de façon unique, si et seulement si a₀ = 1 et pour tout n, a_n+1 = (1 + m_n)a_n, ...". Comme indiqué précédemment, ainsi formulée cette affirmation est erronée : par exemple en base décimale "1","01", "001", etc. peuvent, en respectant le formalisme ainsi défini, représenter le nombre 1. C'est d'ailleurs la raison pour laquelle la numération usuelle de base k (utilisant le zéro positionnel) n'est pas bijective, contrairement à la numération k-adique de même base : voir l'article système de numération bijectif. Le plus probable est que Cantor, quelque part dans son très puissant papier, fait explicitement ou implicitement l'hypothèse, pour arriver à l'unicité de représentation d'un nombre, d'exclure les variantes triviales de la représentation la plus courte de ce nombre : alors, pour garder le même exemple, "1" devient la seule représentation acceptable de 1, et toutes les variantes triviales "01", "001", etc. sont exclues. Tu remarqueras d'ailleurs que la définition générale donnée dans l'article juste avant la mention de Cantor règle le problème en affirmant qu'un système de numération est une "fonction", donc par définition ne peut pas donner deux représentations d'un même nombre ! Bref, je partage ton avis : il faut garder Cantor, mais alors je crois qu'il faut mettre une note relative à l'unicité du type "en excluant les variantes triviales". Olinone (discuter) 18 mars 2023 à 09:31 (CET)

Non. Comme j'ai tenté de l'expliquer plus haut Cantor se fonde sur la suite infinie. La suite infinie représentant 1 est , pour Cantor, la suite 1, 0, 0, 0, 0, 0,.... Car $1=1+0\times 10+0\times 10^{2}+0\times 10^{3}+\cdots =\Sigma _{k\in \mathbb {N} }a_{k}10^{k}$ avec $a_{i}=0$ pour $i\geq 1$ et $a_{0}=1$.

Avec ce type de correspondance, toute entier naturel a un unique représentant de cette forme et à toute suite nulle à partir d'un certain rang, correspond un unique entier A. L'erreur de notre formulation est de dire que l'on travaille sur des suites finies.HB (discuter) 18 mars 2023 à 14:20 (CET)

Texte de l'article revu, avec note explicative. Merci encore! Olinone (discuter) 18 mars 2023 à 16:29 (CET)

Je réponds à ta deuxième réponse dont je te remercie vivement : d’une part je comprends mieux la démonstration de Canto, et en plus cela va simplifier la précision à mettre dans l’article. Il suffit de dire qu’il s’agit de suites infinies, et , en note, de dire que , par exemple , le nombre 1 en base k entière quelconque s’écrit de façon unique : « 1000000… » en notation par « poids » croissant! Olinone (discuter) 18 mars 2023 à 15:08 (CET)

Ah! là! là! pendant ce temps, tu as instillé le doute dans mon esprit... En relisant le papier, Cantor ne donne effectivement pas de limite au nombre d'éléments de la suite mais j'ai l'impression que dès que les termes deviennent tous nuls il les considère comme inexistants (bref ce que tu appelles éliminer les variantes triviales). En effet plus loin, il insiste sur le fait que le développement pour les non-entiers doit, lui, avoir une infinité de termes (supposés donc non tous nuls à partir d'un certain rang) pour avoir unicité. Rha... interpréter un texte en allemand du XIXe siècle avec nos outils du XXIe sans garde fou ressemble beaucoup à du TI. J'ai cherché un texte d'historien commentant le texte de Cantor mais en vain. Quelle est alors la meilleure solution ? Dans l'état, comme on ne peut pas laisser suite finie sans autre précision, il vaut mieux remplacer soit par suite infinie soit par suite finie ne se terminant pas par 0 (ne marche pas pour l'entier 0). Je te laisse prendre la décision finale. HB (discuter) 18 mars 2023 à 16:04 (CET)

Merci (de nouveau!). J'ai pris l'option "suite infinie" qui me semble la plus cohérente avec tes notes de lecture et la démonstration sur la représentation des réels positifs. De toute façon , ce qui est écrit est, désormais, mathématiquement vrai! Olinone (discuter) 18 mars 2023 à 16:31 (CET)

Système de numération fibré

Je ne comprends pas ce paragraphe, qui n'est aucunement sourcé et dont la signification comme l'intérêt m'échappent.

Il contient en outre une affirmation qui me parait erronée:

"En représentation q-adique, le "chiffre des unités" est donné par $\epsilon (n)=n\,({\text{mod}}\,q)$ et la suite des chiffres par $\epsilon _{k}(n)=\epsilon (T^{k}(n))$ où T est l'application $T(n)=({n-\epsilon (n)})/q$."

En effet, en, q-adique le chiffre des unités ne peut être nul donc il est soit le reste NON NUL de la division de n par q, soit égal à b.

En base b usuelle, il peut être nul, donc il est toujours le reste de la division de n par q.

Quelqu'un peut il expliquer l'intérêt de cette notion de "système de numération fibré" et le sourcer? Je laisse quelques jours, et, sans réponse, supprimerai la totalité du paragraphe. Olinone (discuter) 19 mars 2023 à 07:50 (CET)

Je précise ma remarque : le fait que "chiffre des unités"=n (mod q) est trivial, que ce soit en numération usuelle ou q-adique. Ce qui est différent entre numération usuelle et q-adique, c'est que, dans ce dernier cas, le chiffre d'unité ne peut être nul. C'est peut être ceci que l'auteur de ce passage utilise...sans le mentionner. Le reste de ma remarque précédente est inchangé. Olinone (discuter) 19 mars 2023 à 08:14 (CET)

demande de référence et passage peu clair

Pour la demande de référence pour la représentation en base b je peux proposer mon cours : http://mapage.noos.fr/r.ferreol/atelecharger/textes/arithmetique.pdf ou https://www.mathweb.fr/euclide/2019/03/02/nombre-de-chiffres-dun-nombre/

Ensuite, je ne vois pas ce qui est peu clair mais sur les développements propres, j'ai trouvé https://www.mathweb.fr/euclide/2019/03/02/nombre-de-chiffres-dun-nombre/ Robert FERREOL (discuter) 20 mars 2023 à 22:30 (CET)

Bonjour, merci pour la référence sur le nombre de chiffres d'un nombre. Je l'ai insérée dans l'article. Je regarde le reste. Olinone (discuter) 6 avril 2023 à 18:24 (CEST)