Discussion:Tribu borélienne

Erreurs

Je ne comprends pas le mécanisme de la "discussion" ; je m'attendais à pouvoir dire ce que je pense de l'article, et je fais comme si.

Il y a des erreurs "graves" dans l'article "tribu borélienne" (au demeurant sympathique) mais ma connaissance actuelle de l'écriture dans l'encyclopédie ne me permet pas d'y porter des corrections. Par exemple il est écrit

       "...obtenu à partir d'ensembles ouverts en effectuant une suite dénombrable d'opérations d'unions..." ;

s'il est vrai qu'on obtient ainsi tous les boréliens "usuels", on est bien loin de les obtenir tous : il faudrait pour le bien considérer des suites TRANSFINIES dénombrables, et la notion de suite transfinie dénombrable est sans doute trop sophistiquée pour apparaître dans la définition, en tout cas dans ses premières lignes.

Cela dit, je suis prêt à participer à la rédaction de cet article, et d'autres.

Claude.Dellacherie@univ-rouen.fr chercheur au cnrs

Oui, c'est bien comme cela que l'on discute ici. Donc bienvenue et merci pour vos remarques ! (ah si tous les chercheurs prenaient un peu sur leur temps pour faire comme vous !)

Néanmoins, je ne saisis pas très bien la nuance. A partir du moment où l'on autorise des suites d'unions dénombrables, je ne vois pas quelles unions transfinies dénombrables on ne pourrait pas réaliser (c'est bien une question de cardinalité, pas d'ordinalité, non ?). De plus tous les cours que j'ai eus sous la main à ce sujet introduisaient la tribu borélienne sans parler avant cela de transfinitude et je n'ai pas remarqué de contradictions flagrantes dans ces définitions.

Enfin, je ne suis pas spécialiste (même pas étudiant en maths !), et j'aimerais bien voir un contre-exemple (dans la page de discussion, et pourquoi pas dans l'article, si ça s'intègre bien) pour mieux comprendre.

Maintenant, vous pouvez corriger cette page comme bon vous semble sans plus attendre. C'est le principe du Wiki. N'oubliez pas de remplir le champ « commentaire » lorsque vous modifierez la page, afin que l'on comprenne votre motivation. Ne vous inquiétez pas si ne vous respectez pas toutes les règles de forme. Tant que vous améliorez le fond, les autres contributeurs seront heureux et s'empresseront à corriger ce qui n'est pas parfait sur la forme.

Bien cordialement, --Aldoo / ✉ 11 jan 2005 à 19:00 (CET)

Réponse de Dellacherie à Aldoo : Impressionné par la rapidité de la réponse (mais pas par celle actuelle de la navigation dans wikipédia...), et aussi par sa pertinence - ce qui n'empêche qu'il y a erreur : effectivement il s'agit d'ordinalité et non de cardinalité. Appelons B₀ (je ne sais pas encore écrire des indices même si j'ai vu que c'est indiqué quelque part) la classe des boréliens obtenus comme indiqués : en général la réunion ou l'intersection d'une suite d'éléments de B₀ n'appartient pas à B₀ ! On doit donc recommencer la manoeuvre d'où une classe B₁ contenant B₀ mais toujours pas stable pour les réunions et intersections dénombrables. D'où B₂, B₃,...,B_n,... et finalement (?!) B_i (i pour infini) réunion de toutes les classes Bn. Hé non, ce n'est pas fini : B_i n'a toujours pas la stabilité voulue, d'où B_i1 puis B_i2 etc. Finalement on est amené à construire une famille de classes indexée par les ordinaux, et il est vrai, ouf, qu'elle stationne à partir du premier ordinal non dénombrable : on a alors tous les boréliens. Je ne pense pas que puisse être donné un exemple CONCRET de borélien dans B₁ qui ne soit pas dans B0, mais on démontre que cela existe par la technique des ensembles universels et un avatar de l'argument diagonal de Cantor. Puisque vous êtes informaticien, vous avez peut-être déjà rencontré des choses semblables en théorie de la récursivité. Je corrigerai l'article quand j'en serai techniquement capable (en particulier, apprentissage de l'utilisation de TeX ici) ; en attendant je vous enverrai sous peu un courriel de questions sur wikipédia, et les mathématiques dans wikipédia (l'inclure ici déséquilibrerait la discussion). Dellacherie

Toujours Dellacherie : Une autre erreur "grave" se trouve dans la dernière ligne, à savoir, "Plus généralement, si la topologie de T est engendrée par une famille A, stable par intersection finie, la tribu borélienne associée à T est aussi engendrée par A." Ce qui est dit est vrai si T est à base dénombrable par exemple, mais faux en général, du fait que la réunion d'une famille QUELCONQUE d'éléments de A est encore un ouvert, et donc un borélien, alors que la tribu engendrée par A "se construit" à partir de familles seulement dénombrables. Dellacherie

Eh bien, maintenant, au travail ! Il faut corriger tout ça ! (ce n'est pas moi qui le ferai, c'est au-delà de mes compétences actuelles). Merci beaucoup ! --Aldoo / ✉ 13 jan 2005 à 17:47 (CET)

Bon, j'ai finalement vraiment lu l'exemple, et je comprends la teneur de l'objection (quoique ça ne montre pas encore formellement que les parties obtenues par induction transfinie ne peuvent pas toutes êtres obtenues par limite d'une suite d'opérations ; mais je sens qu'effectivement ce ne sera pas le cas ... et vos arguments me parlent ;-) ). Finalement, je serai peut-être en mesure de corriger moi-même, à tête reposée, si vous ne le faites pas.

Pour ce qui est de la notation en indice, voyez comment j'ai modifié votre texte. L'autre option est d'utiliser la syntaxe LaTeX entre balises <math>{formule}_{avec un indice}</math>.

Sinon, pour les questions par courriel sur Wikipédia, je vous répondrais certainement, mais je ne suis qu'un modeste contributeur parmi tant d'autres, et je vous encouragerais plutôt à consulter l'aide (pour les positions « officielles » autant que cela ait un sens) ou à poser vos questions sur le bistro où de nombreux contributeurs vous donneront leur avis.

Bonne continuation sur Wikipédia ! --Aldoo / ✉ 13 jan 2005 à 20:07 (CET)

Dellacherie, devenu CD : Lettre écrite et envoyée avant de lire votre dernière réponse. Vous faites ce que vous voulez de la lettre (mettons qu'elle est sous GPL...). J'avais qualifié de pertinente votre première réponse parce que sans aucun doute toute cette délicatesse du problème n'avait pas été bien vue au tout début par les créateurs Borel, Baire, et que si Lebesgue, un peu plus jeune professionnellement qu'eux, a dû y voir plus clair d'emblée, c'était pour tomber dans un autre chausse-trappe un peu plus loin. Revenons, sans trop la préciser, à notre suite transfinie $(B_{i})_{i<aleph_{0}}$ (désolé, je ne sais pas encore écrire les lettres calligraphiques en TeX ici ; mes classes de boréliens seront des B et les boréliens des b). Pour chaque i on peut construire un borélien $b_{i}$ du plan RxR tel que les coupes de cet ensemble le long du premier facteur appartiennent toutes à $B_{i}$ et que l'ensemble formé de toutes ces coupes soit exactement $B_{i}$. Mais alors l'intersection de $b_{i}$ avec la diagonale de RxR, identifiée à un sous-ensemble de R, ne peut avoir son complémentaire, qui est borélien, appartenant à $B_{i}$ (raisonnement à la Cantor, qu'on retrouve d'ailleurs non seulement en récursivité mais aussi dans certaines manières de résoudre négativement le problème d'arrêt des machines de Turing).

Toujours CD. Comment doit-on faire pour qu'un beau CD bleu, souligné, apparaisse après sauvegarde ? Merci Alddo, je sais maintenant CD 14 jan 2005 à 10:59 (CET)

J'ai corrigé les deux erreurs signalées ci-dessus. Reste au moins à faire un nettoyage cosmétique (remplacement dans le texte des caractères TeX par de l'unicode) et à revenir sur "mesure de Borel ou de Lebesgue" ("mesure de Borel" a ou un sens historique comme précurseur de la "mesure de Lebesgue", ou désigne une large classe de "mesure au sens de Carathéodory" en situation topologique très générale). Si personne ne se met à rédiger "classe de Baire" je le ferai un jour. CD 19 jan 2005 à 14:41 (CET)

Bonjour. Tout d'abbord, merci à tout ceux qui participent activement à ces articles et à leurs mises à jour. Je tenais à effectuer une petite remarque sur cet article : Lorsque, dans le cadre d'une théorie formelle, deux modèles (interprétations disctinctes d'un langage conformes aux axiomes) sont indistinguables, ne sont-ils pas avant tout "élémentairement équivalents" au lieu de "isomorphes" qui suppose un propriété plus forte, dont celle de même cardinalité. Il me semble alors que l'on devrait dire : "tous les espaces standards non dénombrables sont élémentairement équivalents (ou indistinguables pour être moins formels)" plutôt que isomorphes. Car l'espace des fonctions continues de [0;1] est de cardinal '$2^{2^{\aleph _{0}}}$'qui est plus grand que '$2^{\aleph _{0}}$' i.e. le cardinal de tout '$\mathbb {R} ^{n}$' .

Mon point de vue est que cela devait s'appliquer aux tribus respectives et qu'il ne s'agit pas de l'ensemble de départ mais plutôt de l'ensemble de ses sous-ensembles construits. Mais je ne suis pas spécialistes de ce domaine, ne connaissant pas le théorème cité.

S.H. doctorant en logique

Discussion

Il n'y a pas de raison de croire qu'une tribu est nécessairement un ouvert , de plus votre définition de la tribu est incorrecte selon ce que je crois. 77.157.170.32 (discuter) 23 janvier 2024 à 16:05 (CET)