Discussion:Théorie axiomatique

Création : notions utiles en particulier pour le théorème d'incomplétude de Gödel.

Proz 26 avril 2006 à 22:15 (CEST)

J'ai hésité à créer plutôt un article "théorie récursivement axiomatisable", il m'a semblé que théorie axiomatique suffisait. Du coup il manque quelques développements sur les théories axiomatiques en général : jindépendance des axiomes en particulier (dans cet article ou peut-être dans un autre ?).

Il faudrait ajouter une section d'exemples ...

J'ai mis également un embryon d'historique qui serait à compléter.

Les développements sur les théories complètes et incomplètes manquent mais, à mon avis doivent être renvoyés sur d'autres articles (qui sont à créer ou peut-être à renommer/fusionner à partir de l'existant). Il devrait y avoir une entrée pour chaque.

Sur les théories récursivement axiomatisables : j'ai essayé de donner une idée des preuves, en restant relativement informel : sans donner de codages, en utilisant une notion intuitive de machine, ou algorithme. Sur le fond ce ne sont pas des choses très compliquées. Si seuls ceux qui ont déjà des éléments de théorie de la calculabilité comprennent, c'est raté. N'hésitez pas à améliorer.

Cet article me permet d'alléger l'article théorème d'incomplétude de Gödel, que j'essaye d'améliorer. Proz 27 avril 2006 à 18:58 (CEST)

Premiers pas vers une clarification des concepts

En essayant de comprendre le Théorème de Gödel, je tombe sur ce passage : "Une théorie récursivement axiomatisable, est une théorie qui peut être axiomatisée de façon qu'il soit possible de reconnaître de façon purement mécanique les axiomes parmi les énoncés du langage de la théorie". Le lien me permet de comprendre, grosso modo, ce que peut être cette histoire de récursivité. Mais après avoir été au bout du chemin, je n'arrive toujours pas à saisir la phrase citée. Qu'entends-tu, Proz, par "reconnaître les axiomes"? Bien cordialement, --EL ✉ - ✍ 27 mai 2007 à 22:48 (CEST)

PS : Il vaut mieux éviter les liens pointant vers un paragraphe, tel que [[théorie axiomatique#Théorie récursivement axiomatisable|théorie récursivement axiomatisable]]. En cas de réorganisation de l'article, il risque d'être cassé. Dans le cas présent, un petit article sur les théories récursivement axiomatisables, qui reprendrait en particulier le contenu de ce paragraphe, serait en effet probablement utile.

La notion de théorie récursivement axiomatisable correspond en gros à ce que l'on appelle habituellement "système d'axiomes", personne n'aurait l'idée (sauf en logique pour des besoins bien particuliers) d'appeller "axiomatique" un ensemble d'énoncés tel qu'il ne soit pas "évident" qu'un énoncé quelconque est un axiome ou non. "Récursivement axiomatisable" capture (très imparfaitement, mais ça suffit pour ce dont on a besoin) cette notion d'évidence. C'est pour cela qu'il est difficile de définir "récursivement axiomatisable" sans expliquer avant pourquoi "axiomatisable", défini dans le paragraphe précédent, ne suffit pas. Donc reconnaître mécaniquement c'est juste : on me donne un énoncé arithmétique, et je suis capable de dire sans aucun effort d'imagination que c'est un axiome. Je vais essayer d'améliorer le paragraphe, je m'aperçois d'ailleurs que la définition formelle n'y est pas. Proz 28 mai 2007 à 09:44 (CEST)

Merci pour ta réponse. Je tâcherai de temps en temps de te soumettre d'autres questions de béotien, en sorte de t'aider à vulgariser sans renoncer à la rigueur de tes articles. Mais revenons pour le moment à ma question : j'avais bien compris que cette reconnaissance du caractère axiomatique renvoyait à un procédé purement mécanique, à une suite d'opérations logiques. Ce que je n'arrive pas à saisir, c'est à quoi peut ressembler, concrètement, un tel procédé. C'était cela le sens de ma question, mais j'aurais dû ajouter "concrètement". Quelle sorte de procédé mécanique permet de déterminer le caractère axiomatique d'un énoncé? Si je me permets de continuer à t'embêter avec cela, c'est que ce point obscur entrave ma lecture du Théorème de Gödel, et j'imagine ne pas être le seul dans ce cas. Bien cordialement,--EL ✉ - ✍ 28 mai 2007 à 10:14 (CEST)

Est-ce que les compléments que je viens d'écrire suffisent ? Proz 28 mai 2007 à 10:42 (CEST)

J'allais justement écrire que cela me semble maintenant beaucoup plus clair. Comme promis je tâcherai de prendre le temps de lire tes articles puis de t'exposer mes perplexités, pour t'aider à identifier les passages hermétiques aux non spécialistes. mais pour le moment, je dois lutter contre ma procrastination wikipédienne et me mettre à ce fichu papier oh combien moins intéressant que le sujet de nos échanges. Bien cordialement.--EL ✉ - ✍ 28 mai 2007 à 10:49 (CEST)

souci selon moi

bonjour, je n'ose pas corriger mais quelque chose me trouble : Dans le chapitre "définition", en bas, il est dit que toutes les théories qui suivent seront cohérentes, or au début de "thorie récursivement axiomatisable" il est fait mention, juste au début, de la théorie ZF : or elle n'est pas cohérente (enfin on ne peut pas prouver sa cohérence, d'après le second théorème de Gödel)

On peut quand même suppose qu'elle l'est, le fait que l'on ne puisse prouver (de façon convainquante) la cohérence de ZF ne signifie pas qu'elle n'est pas cohérente ! Ceci dit ça n'intervient pas dans la suite, donc j'ai reformulé, ça n'était effectivement pas très clair. Proz (discuter) 11 septembre 2013 à 00:03 (CEST)

Détail d'une preuve

Dans Théorie axiomatique#Les théorèmes d'une théorie récursivement axiomatisable, dans la preuve de « Une théorie est récursivement axiomatisable si et seulement si l'ensemble des théorèmes de cette théorie est récursivement énumérable », il est dit : « La suite d'axiomes obtenue est énumérée de façon strictement croissante en taille ». Je ne crois pas que ce soit toujours possible. Anne (discuter) 2 mai 2014 à 09:58 (CEST)

Quel est le problème ? Penses-tu qu'il faut préciser que l'énumération est obtenue par une fonction totale (toujours possible, mais il me semble qu'à un niveau informel c'est ce qu'on comprend par "énumération", et qu'on embrouille en le précisant), ou est-ce un autre problème que je ne comprends pas ? C'est l'argument standard pour montrer que les théories dont un ensemble d'axiomes est r.e. sont des théories récursivement axiomatisables (d'où la 1ere notion n'a pas d'intérêt). C'est je crois dans le Cori-Lascar tome II (mais peut-être en exercice). Proz (discuter) 2 mai 2014 à 11:02 (CEST)

Merci, j'avais bêtement inventé que la phrase incriminée voulait dire "on peut réordonner de façon strictement croissante" alors qu'en fait elle l'est déjà, par construction. J'ai compris mon erreur après avoir lu cette variante syntaxique (car Cori-Lascar est introuvable sur le web). Du coup je suis tentée d'insérer, juste avant cette preuve, le lien théorème de Craig (en) que je viens de découvrir. Tu vas encore trouver que j'abuse de ce genre de liens rouges, vers des articles qu'il est urgent de ne pas créer, mais moi, cette autre méthode m'a aidée à comprendre celle d'ici. Anne (discuter) 2 mai 2014 à 13:13 (CEST)

J'ignorais que l'"observation" (on peut dire ça en français ? Ou remarque ?) venait de Craig. J'aime bien la remarque de Putnam : une observation qui est un théorème pour les philosophes ... ca n'est pas la même méthode exactement, et effectivement je trouve que ça a plus de sens pris dans le contexte général. La création de l'article pourrait avoir un sens pour l'aspect "signification philosophique" abordé par Putnam. Je pense quand même qu'il est mieux de rédiger de façon plus directement compréhensible cet article (qui serait éventuellement à renommer en théorie axiomatisable ?). Je tente quelque chose. Ca n'interdit pas de mentionner le "théorème" de Craig en note, mais pour moi les aspects math sont à traiter ici, et quand même la démonstration (elle est aussi dans Shoenfield 1967, Mathematical Logic p 138) qui est donnée ici est un peu plus simple que celle originale (y compris pour l'aspect primitif récursif, dont je ne sais pas s'il est dans Craig, et qui est plus anecdotique). Proz (discuter) 2 mai 2014 à 15:49 (CEST)

Théorie des groupes et des corps

Bonsoir,

J'aurais aimé avoir des précisions concernant ce passage:

"Un cas particulier évident de théorie récursivement axiomatisable est celui des théories finiment axiomatisables, c’est-à-dire des théories pour lesquelles on peut donner un nombre fini d'axiomes. Ainsi la théorie des groupes, la théorie des corps sont finiment axiomatisables."

J'ai souvent lu que la théorie des groupes et celle des corps embarquent la théorie des ensembles. J'en comprends par la qu'elles acceptes tout ses axiomes, que l'on ajoutent (en plus de ceux spécifiques aux groupes/corps). On ajoute notamment les schémas d'axiomes de la théorie des ensemble, source d'une infinité d'axiomes. Y'aurait-il un nombre fini de formules dans ces théories ?!

Je link vers cet article : https://fr.wikipedia.org/wiki/Structure_(math%C3%A9matiques) "En mathématiques, une structure désigne toute théorie « plus forte » que la théorie des ensembles, c'est-à-dire une théorie qui en contient tous les axiomes, signes et règles."

En tous cas, merci pour le temps que vous investissez dans la maintenance de l'article.

Cordialement.