Discussion:Théorème d'Euler (arithmétique)

Homonymie

Il existe un autre théorème d'Euler en lien avec le nombre de partitions d'un entier portant sur des séries génératrices, peut-être pourrait-on le préciser...

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par Thomas g (discuter), le 18 mai 2006

Voir Théorème d'Euler (page d'homonymies)

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par Vchahun (discuter), le 8 octobre 2006

Rectification

J'ai fait une petite modif, c'est l'ordre de a qui divise phi(n) et pas le contraire.

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 82.241.84.241 (discuter), le 5 novembre 2006.

Date

Attention, l'année 1736 indiquée sur MathWorld et reprise par en:Euler's theorem est fausse, ils confondent avec la preuve par Euler du petit théorème de Fermat.

Anne Bauval (d) 15 novembre 2010 à 02:49 (CET)

Une phrase qui se termine par une affirmation contestable

Nous lisons après la démonstrtion :

Ce théorème est une généralisation du petit théorème de Fermat (qui ne traite que le cas où n est un nombre premier), et est lui-même généralisé par le théorème de Carmichael.

  Citation  

Pas de problème en ce qui concerne la première proposition : si $\scriptscriptstyle n=p$ premier, on a bien $\scriptscriptstyle \phi (p)=p-1$ et l'expression du théorème d'Euler-Fermat redonne bien l'expression du petit théorème de Fermat. Dit autrement, et compte-tenu des propriétés de l'indicatrice d'Euler, le théorème d'Euler-Fermat implique le petit théorème de Fermat Celui-là est donc bien une généralisation de celui-ci.

Mais les choses se compliquent notablement avec la deuxième proposition. D'une part, il n'est pas possible d'identifier un hypothétique « théorème de Carmichael » : même sur la page à laquelle renvoie le lien (il s'agit en fait de la page Nombre de Carmichael), on ne trouve nulle trace d'un théorème dû à Carmichaêl et qui pourrait jouer ce rôle de généralisation. En réalité, sur cette page, un seul théorème est mentionné, et il s'agit du théorème de Korselt. Mais ce théorème consiste à caractériser les nombres de Carmichael, donc ne saurait en aucun cas pouvoir être considéré comme une généralisation du théorème d'Euler-Fermat ! il n'exprime en rien une propriété plus générale dont le théorème d'Euler-Fermat ne serait qu'une conséquence particulière (Euler-Fermat parle de tous les entiers naturels, et Korselt uniquement de la famille beaucoup plus restreinte des nombres pseudos-premiers absolus…).

En résumé, la formulation « …lui-même généralisé par le théorème de Carmichael » me semble contestable. Il me semblerait souhaitable soit de la supprimer, soit de développer la notion de « menteur de Fermat » en évoquant les nombres pseudos-premiers, puis les nombres pseudo-premiers absolus (i.e. les nombres de Carmichael). J'ignore ce qui est le plus judicieux. Mais l'idée de « généralisation » du théorème d'Euler-Fermat devrait probablement être gommée.

Lord O'Graph (discuter) 26 février 2014 à 13:49 (CET)

Il s'agissait d'une erreur de cible du lien théorème de Carmichael lors d'une traduction en 2008 d'un passage de l'article en anglais. J'ai remplacé par théorème de Carmichael. Anne 1/1/15 2h12

Notation des inversibles

Il me semble que la notation $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ désigne l'ensemble des inversibles (pour la multiplication) dans $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$. C'est la même chose que ce qui est noté $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*}$ dans l'article Inverse modulaire.

Je trouve qu'il faudrait le dire explicitement dans le paragraphe «Autre démonstration». Mais comme je ne suis pas 100% sûr, je préfère ne pas faire la modification sans avis.

Laurent.Claessens (discuter) 22 juillet 2023 à 13:01 (CEST)

Bonne idée d’expliciter le sens de la notation dans le corps de l’article. Je m’en charge. Attention par contre, $A^{\times }$ désigne le groupe des inversibles de l’anneau $A$, tandis que $A^{*}$ désigne l’ensemble $A-\{0\}$. Les deux ne coïncident que si tous les éléments non-nuls sont inversibles, autrement dit si $A$ est un corps (dans le cas de $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$, si n est premier). C’est une erreur de notation dans l’article inverse modulaire que vous pointez, je la corrige. — Maëlan, le 22 juillet 2023 à 14:16 (CEST)