Discussion:Solutions complexes d'équations polynomiales à coefficients réels

Motivations (suite aux demandes de rejet à la création)

Cet article ne cherche pas à retrouver (ou à donner) les formules de Ferrari ou de Cardan, il ne s'agit pas non plus de géométrie algébrique (mais il se peut que cela puisse trouver des éléments d'explication dans ce domaine). Cela ne parle que polynômes à coefficients réels (et les résultats énoncés d'ailleurs sont faux pour les polynômes à coefficients complexes) parce que l'objectif est de donner l'intuition (si c'est possibles) de ce que sont les racines complexes introduites par d'Alembert-Gauss pour les polynômes réels, c'est à dire à comprendre où disparaissent les racines réelles des polynômes de la vie courantes quand on écarte la courbe de ces polynômes de l'axe (Ox).

En effet, pour les racines réelles, l'intuition est claire : les racines sont les intersections de la courbe de ces polynômes de l'axe (Ox). Mais quand il n'y a plus d'intersection ?

Pour le degré 2, il y a un joli résultat : la parabole réelle est collée à une parabole complexe à valeur réelle, orientée dans le sens inverse de la parabole réelle (voir article). A elles deux, on a donc toujours les 2 racines (réelles ou complexes données par la théorie). Ces racines, donc, soit elles sont réelles, soit elles se trouvent dans un plan complexe perpendiculaire au bas de la parabole réelle, sur une autre parabole (complexe).

Au delà du degré 2, malheureusement, comme je le montre, il y a un résultats négatif : il n'y a pas de méthodes directes (non calculatoire) pour donner l'intuition des racines.

Questions/critiques :

• Si vous pensez, qu'il faut changer de titre, pourquoi pas (je n'en suis pas complètement satisfait, mais j'ai du mal à trouver mieux).
• Si vous pensez qu'il n'y a rien à récupérer de l'article, pourquoi pas (je veux bien voir où les informations données dans l'article se retrouvent dans wikipédia), mais l'idée semble intéressante à plus d'un d'entre vous, alors plutôt que de tout enlever, chercher plutôt à améliorer (si c'est possible)
• Pourquoi aller jusqu'au degré 4, (j'ai fais les calculs, cela ne donne rien d'intéressant, cf. deg 3)
• Pourquoi ne s'intéresser qu'aux coefficients réels ? parce que c'est une recherche sur les polynômes réels seulement ! c'est à dire, ceux dont on a la plus claire intuition.
• Ma critique vis à vis de la géométrie algébrique/complexe : le problème de l'intuition, de la représentation graphique. Au delà d'un espace à 3 dimensions, c'est difficile de se représenter les choses. Ici, dans cet article, je cherche à rester dans un espace à 3 dimension, alors qu'il en faudrait 4. (d'où l'introduction de ces 'branches réelles'. On peut aussi parler de 'module' pour rester dans un espace à 3 dimension, mais l'intuition du module est plus lointaine)
• Les références sont plus à trouver en géométrie algébrique réelle (peut-être), sinon, c'est des math de base, accessible aux bacheliers.

j'ajoute, ce n'est pas un article de math pour les maths (je n'attends donc pas de généralisation, la généralisation existe déjà, c'est d'Alembert-Gauss, même si c'est peu compréhensible), mais un article de math pour la vulgarisation des maths, ou à mi-chemin entre les maths et les autres disciplines (épistémologie des sciences, histoire des sciences, informatique, logique, physique, ...) pour faire comprendre un peu les maths et l'introduction des complexes dans le réel.

appel à explicitation

j'ai lu ailleurs un commentaire sur l'article :

L'étude peut être réduite aux seuls polynômes à coefficients réels puisque, pour tout polynôme complexe P(z), $P(z){\overline {P({\overline {z}})}}$ est un polynôme en z à coefficients réels. Cette première affirmation peut évidemment être référencée. La preuve à laquelle je faisais allusion consiste à étudier les courbes $C(\theta )$ d'équation $Re\left[P(z)e^{i\theta }\right]=0$, qui comportent 2n branches en l'infini où n est le degré du polynôme. Pour $\theta$ fixé, il peut être démontré que $C(\theta )$ est l'union de n courbes lisses qui s'intersectent transversalement. Les courbes obtenues s'intersectent deux à deux transversalement pour des valeurs différentes du paramètre $\theta$. On conclut par un argulment combinatoire que le polynôme comporte exactement n racines comptées avec multiplicité.

est-ce que cela peut être éclairci ?

Bandeau de recyclage

Après avoir posé la question de l'avenir de cet article, que je considérais comme un essai personnel, sur la page de discussion du projet math ( voir cette version de la discussion section 71) , j'ai obtenu en résumé : l'article est probablement admissible et il y a peut-être quelque chose à en tirer mais il faudrait

1. changer le titre de l'article (sans savoir s'il faut mettre « Résolution géométrique des équations polynomiales » ou « Interprétation géométrique des solutions réelles ou complexes d'une équation polynomiale à coefficients réels » ou autre )
2. changer le contenu
3. trouver des sources

Bref il s'agirait de refaire complètement l'article. Qui est prêt à s'en charger ? Pas moi car il me manque les sources permettant de le rendre admissible et j'ai eu trop de mal à le comprendre.

1. je n'ai compris que tardivement que le dessin était dans l'espace : présenter deux axes gradués et pas le troisième ne facilite pas la lecture, de même que parler de Ox(iy)z pour parler d'un repère. Enfin employer la même lettre z pour parler du troisième axe et du complexe x+iy ne facilite pas la compréhension
2. j'ai eu du mal à entrer dans la sémantique de l'auteur

   on y parle de zéro d'une équation au lieu de racine d'un polynôme. Ces racines deviennent ensuite des points dont on peut prendre le milieu (« milieu des racines»)

   on y parle de « branches réelles de la forme complexe P(x+iy)» qui sont en fait les complexes x+iy tels que P(x+iy) soit réel. Ces «branches réelles» au nom très imagé ne sont jamais représentées et je les ai un temps cherché dans les courbes représentées

3. j'ai eu du mal à comprendre l'allusion à Warusfel et l'axe radical entre deux cercles
4. j'ai compris tardivement que la barre / pouvait dans une même expression signifier une division ou intervenir dans un «sachant que»
5. je me demande toujours pourquoi dans l'illustration en degré 3 on trouve un point sur l'axe réel et deux points sur l'axe imaginaire dans le cas du polynôme 2x³ + 3x²+4x+5
6. j'ai longtemps cherché ce qu'on entendait par discontinuité des fameuses branches réelles (dit-on qu'une hyperbole est discontinue?) et des zéros qui tombent dans les discontinuités
7. j'ai abandonné l'idée de comprendre ce qu'est une courbe quotientée par une droite

Je retiens de cette lecture laborieuse que l'illustration est jolie dans le cas du polynôme du second degré, déjà plus compliquée pour le degré 3, évoquée pour le degré 4 et que d'après l'auteur, elle est sans intérêt pour les autres degrés.

En général, je pense qu'au lieu de mettre des bandeaux, il vaut mieux agir en améliorant ou nettoyant. Mais, dans le cas présent, je vais mettre un bandeau à recycler. Et, dans un mois, si je n'oublie pas entre-temps, je verrai si l'article a été travaillé. Si ce n'est pas le cas, je le proposerai en PàS. HB (d) 1 mai 2013 à 09:51 (CEST)

Pour le titre de l'article, comme je disais plus haut, je ne suis pas satisfait non plus, donc pas de problème pour changer. Parmi les propositions j'aime bien les termes "interprétation", "géométrique", ce qui peut donner : "Interprétation géométrique des solutions complexes d'équations polynomiales à coefficients réels" si ce n'est pas trop long, mais c'est un peu prétentieux ; il y a aussi un titre possible du coté de "Branches réelles des polynômes complexes à coefficients réels". Dans tous les cas, on peut enlever "zéro" du titre si cela ne correspond pas aux usages et ajouter "polynôme à coefficients réels" puisque c'est bien de cela dont il s'agit.

(suite après le changement de titre)

--Bdenis (d) 10 mai 2013 à 10:18 (CEST)

J'ai donc essayé d'améliorer un peu le texte en suivant les propositions ou demandes d’éclaircissement ci dessus :

• éviter l'utilisation du terme "zéro",
• description des images et axes,
• utilisation de la notion d'intersection,
• référence pour l'axe radical,
• suppression de quelques parties obscures sur le quotient,
• suppression de la notation "//",
• et divers détails ...

--Bdenis (d) 11 mai 2013 à 10:56 (CEST)

ps: il reste encore probablement du travail (j'imagine que pour rendre cet article encore un peu plus clair il faudrait un peu plus d'explicitation ... toujours plus d'explicitation ...)