Discussion:Méthode des différences finies

dérivable sur l'intervalle fermé ?

Dans la section "Approximations centrées", il est dit que $u$ doit être dérivable sur l'intervalle fermé $[x-h,x+h]$.

Certes, cela est cohérent (ou au moins pas contradictoire) avec l'article Théorème de Taylor qui parle d'un «intervalle» sans préciser qu'il doit être ouvert, mais j'avoue avoir un doute sur l'endroit où l'hypothèse d'être dérivable au point $x+h$ lui-même est utilisée.

Laurent.Claessens (discuter) 2 avril 2022 à 06:31 (CEST)

Oui (ça date d'un gros ajout en 2005), je dirais même plus : à quoi bon préciser sur quel intervalle ? ça serait plus naturel de dire « au voisinage de $x$ » (et de ne faire dépendre les fonctions $\varepsilon$ que de $h$, puisque $x$ est fixé, non ?). Anne à 9 h 31 (CEST)

J'ai fait la modification, en précisant tout de même que $h$ doit être assez petit pour que toutes les hypothèses de régularité restent valables.

Laurent.Claessens (discuter) 2 avril 2022 à 17:03 (CEST)

Je ne comprends pas : ta modif ne change rien au problème que tu soulevais, u est encore supposée (3 fois) dérivable sur $[x-h,x+h]$, au lieu de simplement au point x ($u'''$ n'a même pas besoin d'être définie au voisinage de x). Et il n'y a rien à préciser sur h, il a le droit d'être aussi grand qu'on veut, puisque la seule chose qu'"il" doit vérifier c'est que (pour x fixé) quand h tend vers 0, epsilon tend vers 0. Anne à 17 h 58 (CEST)

Oui; je me suis assez mal exprimé. J'avais envie de dire que $u$ était 3 fois dérivable sur un intervalle aurour de $x$, tout en disant que $h$ est assez petit pour ne pas sortir de cet intervalle. L'idée est que certaines formules pour le reste demandent de la régularité sur un voisinage et non juste en $x$. Mais c'est vrai que, comme on n'a pas l'intention d'utiliser de telles formules plus bas, c'est inutile. Bref, autant rester simple et dire que $u$ est définie sur un intervalle autour de $x$ et 3 fois dérivable en $x$.Laurent.Claessens (discuter) 3 avril 2022 à 06:31 (CEST)