Discussion:Endomorphisme nilpotent

Attention, la démonstration par récurrence comporte une grosse faille.

Le noyau de u n'est pas forcément inclus dans l'image. Exemple : $M={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}$ est nilpotent ($M^{2}=0$) et pourtant son noyau, engendré par $(e_{1},e_{2})$ n'est pas inclus dans l'image qui est de dimension 1 sur $e_{3}$.

--Fabrej0 16 mai 2007 à 22:57 (CEST)

Exact. Ca a éthé discuthé et rectifié (le 20/04/08). Anne Bauval (d) 13 janvier 2010 à 02:57 (CET)

Unicité en dimension quelconque

Existe-t-il une source, et est-ce que la démonstration suivante est correcte ? (et y a-t-il plus simple, éventuellement sans récurrence ?)

Pour tout endomorphisme nilpotent u d'indice p, une décomposition de E de la forme

$E=\oplus _{k=1}^{p}E_{k}{\text{ avec }}E_{k}=\oplus _{x\in I_{k}}K[u](x),$

où chaque I_k est un ensemble de vecteurs d'indice k, est unique à isomorphisme près, c'est-à-dire que les cardinaux des I_k sont entièrement déterminés par u. En effet, par récurrence sur p, ils le sont pour k > 1 (la restriction de u à son image est nilpotente d'indice p – 1 et ses I_k sont – à un décalage près de l'indice – ceux de u sauf le premier), et le cardinal de I₁ est lui aussi déterminé : c'est la dimension du quotient de ker(u^j) par ker(u^j) ⋂ im(u) = u(ker(u^j+1)), pour n'importe quel j de 1 à p – 1.

Anne (d) 30 mars 2013 à 14:47 (CET)

Je suis d'accord avec la propriété, à ceci près que l'expression « à isomorphisme près » me gêne un peu ici puisque je ne vois pas trop de quel isomorphisme on parle, il vaudrait mieux dire explicitement que les cardinaux des I_k ne dépendent que de u, c'est évident par définition de la codimension. Quant à la récurrence, je ne la trouve pas très claire, surtout dans la dernière ligne, même si j'ai fini par être convaincu par la démarche. Ambigraphe, le 30 mars 2013 à 19:30 (CET)

Je pense qu'on peut dire que E est la somme directe de sous-espaces cycliques $E_{i},i\in I$. La décomposition est unique dans le sens que si E est aussi la somme directe de $F_{j},j\in J$, alors il existe une bijection entre I et J telle que $E_{i}=F_{j}$. Une fois la décomposition terminée, on peut ranger les $E_{i}$ suivant l'indice de nilpotence. La preuve de l'existence doit pouvoir se faire avec Zorn. La preuve de l'unicité se ramène en dimension finie car chaque E_i est de dimension finie. Je dis tout ça de tête sans un crayon et un papier, je ne donnerai pas ma main à couper pour ce que je raconte. UL (d) 30 mars 2013 à 21:54 (CET)

• Existence. L'actuelle preuve d'existence de l'article marche en dimension quelconque (elle utilise Zorn mais de façon cachée). J'avais pensé moi aussi à une autre par Zorn ("comme d'hab'") mais qui ne marche pas : une famille maximale de sous-espaces cycliques en somme directe n'a aucune raison d'être de somme E.
• Isomorphisme. Un isomorphisme entre deux décompositions (pourrait se définir dans le langage des catégories mais bof) est naturellement ce que dit Liu (à condition de prendre "$E_{i}=F_{j}$" au sens de : "isomorphes en tant que sous-K[X]-modules"), donc équivaut bien sûr à une bijection entre les I_k de l'une et de l'autre (ça précise le "ranger les sous-espaces cycliques suivant l'indice de nilpotence" ; je ne comprends pas le "c'est évident par définition de la codimension").
• Preuve d'unicité. La première partie de la récurrence est facile à détailler (elle utilise le même mécanisme que la preuve d'existence). La dernière ligne est trop bavarde : disons simplement que le cardinal de I₁ est la dimension de ker(u)/[ker(u) ⋂ im(u)] (ce quotient se lit dans la somme directe, facteur par facteur). Je ne comprends pas "La preuve de l'unicité se ramène en dimension finie..." : y a-t-il une preuve plus simple ?

Anne (d) 31 mars 2013 à 01:32 (CET)

La décomposition de l'énoncé implique que pour tout k>0, $I_{k}$ est une base d'un supplémentaire de $u(\operatorname {Ker} u^{k+1})+\operatorname {Ker} u^{k-1}$ dans $\operatorname {Ker} u^{k}$. Cela vient de la décomposition de chaque noyau itéré sur la base construite avec les images itérées des éléments des ensembles I_k. Ambigraphe, le 31 mars 2013 à 12:37 (CEST)

Ah oui, tiens ! (Entre-temps j'avais mis dans l'article une autre caractérisation, directement issue de ma récurrence donc plus naturellement liée à la preuve d'existence – on peut réfléchir à harmoniser tout ça.) J'ai compris seulement ce matin que ton "c'^[Quoi ?]est évident par définition de la codimension" voulait dire : si les décompositions sont isomorphes alors, par définition de la codimension, leurs I_k ont mêmes cardinaux (cette réciproque ne sert pas ici) – ou alors tu avais déjà en tête ce que tu viens d'écrire (dans ce cas ç'aurait été gentil de l'écrire plus tôt, mais ça m'a laissé le plaisir de trouver autre chose). Anne (d) 31 mars 2013 à 15:01 (CEST)

Ce qui est évident par définition de la codimension, c'est que les cardinaux des ensembles I_k ne dépendent que de u car correspond à une codimension d'espaces qui ne dépendent que de u, comme je viens de l'expliciter. C'est bien ce que j'avais en tête lors de ma première intervention. Je n'ai pas parlé de « décompositions isomorphes » vu que je n'avais toujours pas compris en quoi consistait un isomorphisme de décompositions. Bon, maintenant que j'y réfléchis, je suppose que vous sous-entendez par là un automorphisme de E qui commute avec u et qui envoie les ensembles I_k d'une décomposition sur ceux de l'autre. Ce n'était pas tout à fait trivial. Ambigraphe, le 31 mars 2013 à 17:27 (CEST)

Oui si tu préfères, puisque c'est équivalent à ce que Liu disait, comme cet auteur. Je ne prenais pas la peine de définir un isomorphisme entre deux décompositions en somme directe d'un module, parce que c'est simplement un isomorphisme dans la catégorie de ces décompositions (vue comme sous-catégorie pleine de celle, plus usuelle, des familles de sous-objets). L'unicité, elle, n'était pas évidente pour moi il y a 2 jours, donc chapeau.

Anne (d) 31 mars 2013 à 20:42 (CEST)

Concept général

Le début de l'introduction est trop général je pense. Il ne sert à rien et c'est faux tel que (le morphisme nul n'existe pas). On devrait se restreindre tout de suite aux endormorphismes d'un espace vectoriel ou d'un module. UL (d) 30 mars 2013 à 21:57 (CET)

Formellement, on peut parler du morphisme nul dès qu'on a un monoïde, mais disons que l'on commence à avoir un peu de résultats dès que l'on a une structure de groupe. Je ne pense pas qu'il faille se restreindre au cas abélien. Ambigraphe, le 31 mars 2013 à 17:30 (CEST)

Quel genre de résultat si l'on considère les endormorphismes d'un groupe non abélien et qui soit réellement utilisé ? UL (d) 31 mars 2013 à 19:09 (CEST)