Discussion:Arbre d'Aronszajn

L'existence d'un arbre d'Aronszajn est-il compatible avec l'axiome du choix ?

Bonjour, je découvre les arbres d'Aronszajn en découvrant cet article (et bravo à Dfeldmann (d · c · b) pour sa nouvelle traduction de qualité qui enrichi le portail maths de wp:fr), sans avoir bien appréhendé le sujet. Une chose m'interloque, soit, l'éventuelle divergence entre :

• 1/ Cette définition de l'article : un arbre d'Aronszajn est un arbre (en) non dénombrable n'ayant que des branches dénombrables et que des niveaux dénombrables
• 2/ Un énoncé connu pour être équivalent à l'axiome du choix (mais p.-e. seulement à l'axiome du choix dénombrable, je ne sais car cet énoncé ne m'a jamais semblé clair [<-- i.e. je n'ai pas trop recherché] : la réunion dénombrable d'ensembles dénombrable est dénombrable (<-- énoncé de mémoire).

Bref, qu'en savez vous : est-on dans cet article modulo ZF ou (plus fort : ce me semble) modulo ZFC ?

--Epsilon0 ε₀ 24 décembre 2012 à 01:39 (CET)

Bonnes interrogations ; voici les réponses (autant que je sache ; je ne suis pas un expert du sujet). 1) On est dans ZFC, mais ça n'a pas d'importance en fait, parce qu'on se place dans un cadre d'ordres (partiels) définis sur un ordinal ($\omega _{1}$ pour les arbres d'Aronszajn de la définition citée). 2) Les branches et les niveaux sont dénombrables, mais le nombre de branches et le nombre de niveaux ne l'est pas ; de là vient peut-être ta perplexité ; de même, l'ordinal $\omega _{1}$ est non dénombrable, mais tous les ordinaux plus petits que lui le sont...--Dfeldmann (d) 24 décembre 2012 à 08:05 (CET)