Discussion:Alternativité

Magma ou Algèbre ?

Salut. J'arrive pas à démontrer ce qui est dit dans la section 2 (propriétés) que pour tout couple (x,y) d'éléments d'un magma alternatif, l'identité (xy)x = x(yx) est vérifiée. Dans la version anglaise, on ne parle pas de magma alternatif, mais d'algèbre alternative, ce qui suppose, en plus, une addition qui, en outre, est distributive par rapport à la multiplication. Ne faut-il pas cette distributivité, pour démontrer cela ? wku2m5rr (d) 2 mars 2011 à 17:57

J'ai retravaillé l'article, mais ça soulève d'autres questions naturelles, pour lesquelles je ne trouve pas de source (car gare au TI ! ) :

1. exemple montrant que pour les magmas il n'y a pas d'analogue du théorème d'Artin (et même, si possible, un magma alternatif qui ne soit ni flexible, ni associatif des puissances) ?
2. exemple (éventuellement inclus dans le 1) montrant qu'un magma alternatif n'est pas forcément flexible ?
3. exemple (éventuellement inclus dans le 1 ou le 4) montrant qu'un magma alternatif n'est pas forcément associatif des puissances ? (j'ai tiré cette affirmation de en:alternativity et l'ai mis dans l'article avec un refsou, mais j'y crois, car d'après ceci, les puissances d'un élément ne semblent bien définies que jusqu'à la cinquième)
4. exemple montrant qu'un magma alternatif et flexible n'est pas forcément associatif des puissances ? (je croyais que si, maintenant je crois que non)

Certains de ces (futurs) exemples seraient aussi à mentionner dans associativité des puissances.

Anne 3 mars 2011 à 16:09

Bonjour,

Une tentative de démonstration avec la distributivité : on pose

• A = [(x+y)(x+y)]y - (x+y)[(x+y)y]
• B = x(xy) - (xx)y
• C = x(yy) - (xy)y
• D = y(xy) - (yx)y

On vérifie que

• A+B+C+D = (yy)y - y(yy).
• l'alternativité gauche signifie B = 0 ; elle implique A = 0
• l'alternativité droite signifie C = 0
• la flexibilité signifie D = 0

L'une des trois notions suffit pour affirmer que A+B+C+D = 0.
Si je n'ai pas fait d'erreur, les propriétés annoncées semblent en découler ? Asram (d) 5 mars 2011 à 23:44

Concernant les algèbres (et pas les magmas plus généraux comme dans ma liste de questions), il y a déjà le lien externe dans la note. L'article anglophone a visiblement puisé à la même source et me semble clair aussi. J'ai l'impression que tes calculs prouvent seulement que toute algèbre alternative est flexible et que toute algèbre flexible et alternative à gauche est alternative à droite, mais pas que toute algèbre flexible et alternative à droite est alternative à gauche (dans ce cas on trouve juste A+B=0). Anne 6 mars 2011 à 02:33

À cette heure tardive pour mes neurones grippés (je me suis tapé le truc au bord de la piscine sans lire les trucs anglophones, par jeu, sans avoir puisé d'autres sources dans la piscine), j'avais pensé qu'il suffisait de remplacer A par la version dédoublée de l'alternativité à droite, mais je n'ai pas testé le calcul. Il faut que je me repose (je fonctionne à la règle : remplacer un vecteur par une somme de deux). Sur tes contre-exemples, je dis d'emblée mon incompétence, je découvre et je savoure, je ne vais pas en plus culpabiliser . Asram (d) 6 mars 2011 à 02:46

Je confirme qu'on peut reprendre le principe avec A = y[(x+y)(x+y)] - [y(x+y)](x+y), B = (yx)x - y(xx) , C = y(xy) - y(xy), D = (yy)x - y(yx) et A+B+C+D = y(yy)-(yy)y. Asram (d) 6 mars 2011 à 15:12 (CET)

Un document qui me semble intéressant : Anneaux non associatifs. Asram (d) 6 mars 2011 à 22:22

Je crois avoir trouvé un magma alternatif non flexible (mais hélas associatif en puissance) Sur {0, 0bis, x,y} une loi pour laquelle 0 est absorbant, 0bis absorbant sauf pour 0, avec x*y=0 et y*x=0bis, et x²=x, y²=y. Il me semble bien la loi est alternative sans être flexible. HB (discuter) 6 avril 2017 à 17:44

Complément. Si mon exemple n'est pas faux, un magma produit sur cet ensemble et celui proposé par Anne dans Discussion:Loi de composition interne#Alternativité et associativité des puissances ne donnerait-il pas un magma alternatif (à cause de l'alternativité des deux lois), ni associatif en puissance ni flexible ? HB (discuter) 6 avril 2017 à 18:38

Génial(e) ! Anne, 20 h 33