Dilemme destructif

Un dilemme destructif est une règle d'inférence valide de la logique propositionnelle. Elle est l'inférence selon laquelle, si P implique Q et R implique S et soit Q est faux soit S est faux, alors, soit P ou R est faux. En somme, si deux implications sont vraies, mais qu'un de leurs conséquents est faux, alors un de leurs antécédents est faux. Le dilemme destructif est la version disjonctive du modus tollens, alors que, la version disjonctive du modus ponens est le dilemme constructif. La règle peut être déclarée comme suit:

${\frac {P\to Q,R\to S,\neg Q\lor \neg S}{\therefore \neg P\lor \neg R}}$

où la règle est que chaque fois que les instances de « $P\to Q$ », « $R\to S$ », et « $\neg Q\lor \neg S$ » apparaissent sur les lignes d'une démonstration, «$\neg P\lor \neg R$ » peut être placé sur une ligne subséquente.

Notation formelle

La règle du dilemme destructif peut être écrite en notation séquente:

$(P\to Q),(R\to S),(\neg Q\lor \neg S)\vdash (\neg P\lor \neg R)$

où $\vdash$ est un symbole métalogique qui signifie que $\neg P\lor \neg R$ est une conséquence syntaxique de $P\to Q$, $R\to S$, et $\neg Q\lor \neg S$ dans un système logique;

et exprimée en tautologie ou en théorème de la logique propositionnelle:

$(((P\to Q)\land (R\to S))\land (\neg Q\lor \neg S))\to (\neg P\lor \neg R)$

où $P$, $Q$, $R$ et $S$ sont des propositions exprimées dans un système formel.

Exemple

S'il pleut, nous allons rester à l'intérieur.

Si c'est ensoleillé, nous allons faire une promenade.

Soit nous ne serons pas restés à l'intérieur, soit nous ne serons pas allés faire une promenade, soit les deux.

Par conséquent, soit il ne pleuvra pas, soit il ne fera pas beau, soit les deux.

Démonstration

Proposition	Dérivation
$(A\rightarrow B)\land (C\rightarrow D)$	Donnée
$\neg B\lor \neg D$	Donnée
$B\rightarrow \neg D$	Implication
$\neg D\rightarrow \neg C$	Transposition
$B\rightarrow \neg C$	Syllogisme hypothétique
$A\rightarrow B$	Simplification
$A\rightarrow \neg C$	Syllogisme hypothétique
$\neg A\lor \neg C$	Implication

Exemple de démonstration

La validité de cette structure d'argument peut être démontré en utilisant à la fois la démonstration implicationnelle (DI) et le reductio ad absurdum (RAA) de la manière suivante:

1.	$((P\rightarrow Q)\And (R\rightarrow S))\And (\neg Q\vee \neg S)$	(DI)
2.	$(P\rightarrow Q)\And (R\rightarrow S)$	(1: Simplification)
3.	$(P\rightarrow Q)$	(2: simplification)
4.	$(R\rightarrow S)$	(2: simplification)
5.	$(\neg Q\vee \neg S)$	(1: simplification)
6.	$\neg (\neg P\vee \neg R)$	(RAA)
7.	$\neg \neg P\And \neg \neg R$	(6: Lois de De Morgan)
8.	$\neg \neg P$	(7: simplification)
9.	$\neg \neg R$	(7: simplification)
10.	$P$	(8: double négation)
11.	$R$	(9: double négation)
12.	$Q$	(3,10: modus ponens)
13.	$S$	(4,11: modus ponens)
14.	$\neg \neg Q$	(12: double négation)
15.	$\neg S$	(5, 14: syllogisme disjonctif)
16.	$S\And \neg S$	(13,15: conjonction)
17.	$\neg P\vee \neg R$	(6-16: RAA)
18.	$(((P\rightarrow Q)\And (R\rightarrow S))\And (\neg Q\vee \neg S)))\rightarrow \neg P\vee \neg R$	(1-17: DI)

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Destructive dilemma » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• Howard-Snyder, Frances; Howard-Snyder, Daniel; Wasserman, Ryan. The Power of Logic (4th ed.). McGraw-Hill, 2009, (ISBN 978-0-07-340737-1), p. 414.

Liens externes

• http://mathworld.wolfram.com/DestructiveDilemma.html