Cévienne

En géométrie, une cévienne d'un triangle est un segment de droite partant d'un sommet et joignant son côté opposé. Les hauteurs, médianes et bissectrices sont des céviennes particulières. Le mot cevienne vient du nom du mathématicien italien Giovanni Ceva, qui a prouvé un théorème sur les céviennes portant lui aussi son nom.

Longueur

Un triangle avec une cévienne.

La longueur d'une cévienne peut être déterminée par le théorème de Stewart. Sur le graphique, la longueur $d$ peut être déterminée par la formule suivante :

$\,b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).$

Si la cévienne est une hauteur, sa longueur est donnée par la formule :

$\,d^{2}=b^{2}-n^{2}=c^{2}-m^{2}.$

Si la cévienne est une médiane, sa longueur est donnée par la formule simplifiée :

$\,m(b^{2}+c^{2})=a(d^{2}+m^{2}).$

Enfin, si la cévienne est une bissectrice, sa longueur est donnée par la formule :

$\,(b+c)^{2}=a^{2}\left({\frac {d^{2}}{mn}}+1\right).$

Articles connexes

• Théorème de Ceva

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cevian » (voir la liste des auteurs).
• (en) Ross Honsberger (de), Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, MAA, Cambridge University Press, 1995 (ISBN 978-0-88385639-0), p. 13 et 137.
• (en) Vladimir Karapetoff (en), Some properties of correlative vertex lines in a plane triangle, American Mathematical Monthly, 36 (1929), 476–9 jstor.