Constante de Komornik-Loreti

Dans la théorie mathématique des systèmes numériques positionnels non standard, la constante de Komornik-Loreti est une constante mathématique qui représente la plus petite base q pour laquelle le nombre 1 a une représentation unique, appelée son q-développement. La constante est nommée d'après Vilmos Komornik et Paola Loreti, qui l'ont définie en 1998.

Définition

Étant donné un nombre réel q > 1, la série

$x=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{-n}$

est appelée le q-développement, ou $\beta$-développement, du nombre réel positif x si, pour tout $n\geq 0$ , $0\leq a_{n}\leq \lfloor q\rfloor$, où$\lfloor q\rfloor$ est la partie entière inférieure de $q$ et $a_{n}$ peut ne pas être entier. N'importe quel nombre réel $x$ tel que$0\leq x\leq q\lfloor q\rfloor /(q-1)$ possède une telle expansion, comme on peut le trouver en utilisant un algorithme glouton.

Le cas particulier où $x=1$, $a_{0}=0$, et $a_{n}=0$ ou $a_{n}=1$ est parfois appelé un q-développement. $a_{n}=1$ donne le seul 2-développement possible. Cependant, pour presque tout $1<q<2$, il existe un nombre infini de$q$-développements. De manière encore plus surprenante, il existe des $q\in (1,2)$ pour lesquels il n'existe qu'un seul $q$ -développement. De plus, il existe un plus petit nombre $1<q<2$ connu sous le nom de constante de Komornik-Loreti pour lequel il existe un unique $q$-développement.

Valeur

La constante de Komornik-Loreti est la quantité $q$ telle que

$1=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t_{k}}{q^{k}}}$

où $t_{k}$ est la suite de Prouhet-Thue-Morse, c'est-à-dire que $t_{k}$ est la parité du nombre de 1 dans la représentation binaire de $k$ . Il a une valeur approchée

$q=1.787231650\ldots .\,$

La constante $q$ est aussi la seule racine réelle positive de

$\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{q^{2^{k}}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{q}}\right)^{-1}-2.$

Cette constante est un nombre transcendant.

Voir également

• Constante d'Euler-Mascheroni
• Mot de Fibonacci
• Séquence Golay – Rudin – Shapiro
• Constante de Prouhet – Thue – Morse