Constante de Komornik-Loreti
Dans la théorie mathématique des systèmes numériques positionnels non standard, la constante de Komornik-Loreti est une constante mathématique qui représente la plus petite base q pour laquelle le nombre 1 a une représentation unique, appelée son q-développement. La constante est nommée d'après Vilmos Komornik et Paola Loreti, qui l'ont définie en 1998.
Définition
Étant donné un nombre réel q > 1, la série
est appelée le q-développement, ou -développement, du nombre réel positif x si, pour tout , , où est la partie entière inférieure de et peut ne pas être entier. N'importe quel nombre réel tel que possède une telle expansion, comme on peut le trouver en utilisant un algorithme glouton.
Le cas particulier où , , et ou est parfois appelé un q-développement. donne le seul 2-développement possible. Cependant, pour presque tout , il existe un nombre infini de-développements. De manière encore plus surprenante, il existe des pour lesquels il n'existe qu'un seul -développement. De plus, il existe un plus petit nombre connu sous le nom de constante de Komornik-Loreti pour lequel il existe un unique -développement[1].
Valeur
La constante de Komornik-Loreti est la quantité telle que
où est la suite de Prouhet-Thue-Morse, c'est-à-dire que est la parité du nombre de 1 dans la représentation binaire de . Il a une valeur approchée
La constante est aussi la seule racine réelle positive de
Cette constante est un nombre transcendant.
Voir également
- Constante d'Euler-Mascheroni
- Mot de Fibonacci
- Séquence Golay – Rudin – Shapiro
- Constante de Prouhet – Thue – Morse
Notes et références
- Weissman, Eric W. "q-expansion" From Wolfram MathWorld. Retrieved on 2009-10-18.
- Weissman, Eric W. "Komornik–Loreti Constant." From Wolfram MathWorld. Retrieved on 2010-12-27.