Composition des mouvements

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La loi de composition des mouvements permet en mécanique newtonienne de relier les accélérations et les vitesses observées dans deux référentiels distincts. C'est une loi de cinématique c'est-à-dire essentiellement de description. Néanmoins, elle permet d'introduire le concept de forces d'inertie dans un référentiel non galiléen.

Cadre[modifier | modifier le code]

Soit (R) et (R') des référentiels respectivement centrés en O et A, et \vec{\Omega}_{(R'/R)} la rotation de (R') par rapport à (R).

La loi de composition des mouvements se démontre grâce à la propriété suivante, la formule de Varignon : si \vec{B}(t) est un vecteur, alors :

\left( \frac{d\vec{B}}{dt} \right )_{(R)}=\left ( \frac{d\vec{B}}{dt}  \right )_{(R')}+\vec{\Omega}_{(R'/R)}\wedge \vec{B}
Remarque 

On peut retrouver différentes notations, comme celle-ci : \left(\frac{d\vec{B}}{dt}\right)_{(R)}=\frac{d^\left(R\right)\vec{B}}{dt}.

Ces notations posent problèmes car elles font penser au lecteur qu'"on dérive dans un référentiel un vecteur" (sous-entendant qu'il existe autant de dérivées qu'il existe de référentiels) alors qu'en fait "on dérive un vecteur, qui lui s'exprime dans un référentiel". En effet, l'opération de dérivation est une opération mathématique ne dépendant pas du référentiel ; c'est bien le vecteur qui s'exprime différemment selon le référentiel. Pour éclairer, prenons un piéton immobile (référentiel R0) et un automobiliste (référentiel R1). La voiture avance sur l'axe \scriptstyle \vec{x}, de telle sorte que la position du volant de l'automobile est :

  • dans le référentiel R0 : \scriptstyle\vec{P}=\left(at+b\right)\vec{x} (où \scriptstyle a est la vitesse de la voiture, \scriptstyle b la distance entre l'automobiliste et le volant et \scriptstyle t le temps)
  • dans le référentiel R1 : \scriptstyle\vec{P}=b\vec{x}

On voit donc que le vecteur position (avant qu'on l'ait dérivé pour obtenir sa vitesse) n'est pas le même selon le référentiel, ce qui montre bien que c'est le vecteur qu'on exprime dans un référentiel et non la dérivée qu'on calcule dans un référentiel.

Composition des vitesses[modifier | modifier le code]

Expression vectorielle[modifier | modifier le code]

Soit M un point mobile dans l'espace. On définit :

  • La vitesse absolue de M est la vitesse de M dans (R) notée :

\vec{v}_a=\vec{v}(M)_{(R)}

  • La vitesse relative de M est la vitesse de M dans (R') notée :

\vec{v}_r=\vec{v}(M)_{(R')}

  • La vitesse d'entraînement est la vitesse de M par rapport à (R) s'il était fixe dans (R') notée :

\vec{v}_e=\vec{v}(A)_{(R)}+\vec{\Omega}_{(R'/R)}\wedge \vec{AM} C'est aussi la vitesse du point coïncident.

La loi de composition est assez intuitive puisqu'elle s'écrit :

\vec{v}_a=\vec{v}_r+\vec{v}_e

Expression torsorielle[modifier | modifier le code]

On se place en cinématique du solide ; on note Ɛ l'espace réel. Considérons trois solides notés 0, 1 et 2 ; habituellement, le solide 0 est un bâti de machine ou bien le sol. On note « i/j » le mouvement du solide i par rapport au référentiel lié au solide j. On note \{ \mathcal{V}_{i/j} \} le torseur cinématique décrivant ce mouvement.

La loi de composition des vitesses s'exprime, avec les torseurs, de la manière suivante :

\{ \mathcal{V}_{2/0} \} = \{ \mathcal{V}_{2/1} \} + \{ \mathcal{V}_{1/0} \}

C'est une sorte de relation de Chasles pour les indices.

On note Ɛ l'espace réel. Si l'on considère les éléments de réduction, alors :

\forall \mathrm{A} \in \mathcal{E}, \vec{\mathrm{V}}(\mathrm{A} \in 2/0) = \vec{\mathrm{V}}(\mathrm{A} \in 2/1) + \vec{\mathrm{V}}(\mathrm{A} \in 1/0)
\vec{\Omega}_{2/0} = \vec{\Omega}_{2/1} + \vec{\Omega}_{1/0}

Notons que la première équation est simplement l'expression vectorielle de la loi de composition des vitesses. La seconde équation, la loi de composition des vitesses de rotation, dérive de la loi de composition des vitesses linéaires de par les propriétés d'addition des torseur.

Elle suffit seule à traduire la relativité galiléenne. Toutefois, il est souvent plus aisé d'utiliser la loi de composition des vecteurs vitesse de rotation associée à la loi de composition des vitesses linéaires en un seul point donné, plutôt que d'utiliser la loi de composition des vitesses linéaires en tous points.

Composition des accélérations[modifier | modifier le code]

La composition des accélérations est beaucoup moins intuitive, car elle fait intervenir non seulement une accélération d'entraînement, mais aussi une accélération complémentaire dite de Coriolis, qui n'a été découverte qu'au XIXe siècle par Gaspard-Gustave Coriolis. On définit ainsi :

  • L'accélération absolue de M comme l'accélération de M dans (R), notée :

\vec{a}_a=\vec{a}(M)_{/R}

  • L'accélération relative de M comme l'accélération de M dans (R'), notée :

\vec{a}_r=\vec{a}(M)_{/R'}

  • L'accélération d'entraînement comme l'accélération de M dans (R) s' il était fixe dans (R') :

\vec{a}_e=\vec{a}(A)_{(R)}+\left ( \frac{d\vec{\Omega}_{(R'/R)}}{dt} \right )_{(R')}\wedge \vec{AM}+\vec{\Omega}_{(R'/R)}\wedge(\vec{\Omega}_{(R'/R)}\wedge\vec{AM})

Attention ! De manière générale, l'accélération d'entraînement n'est pas la dérivée de la vitesse d'entraînement. L'accélération d'entraînement à un instant t donné est l'accélération dans R du point coïncident à M dans R' (noté P_t) à cet instant. Ce point n'est donc pas le même selon l'instant considéré : une fraction de temps \tau plus tard, le point coïncident est P_{t+\tau}. La différence entre les deux notions est la suivante :

- L'accélération d'entraînement \vec{a}_e correspond à la variation de la vitesse du point P_t entre les instants t et t+\tau, ce qui ne fait intervenir qu'un seul point.

- La dérivée du vecteur d'entraînement \frac{d \vec{v_e}}{dt} correspond à la variation de \vec{v}_e au cours du temps : on compare alors le vecteur vitesse de P_t à l'instant t et le vecteur vitesse de P_{t+\tau} à l'instant t + \tau, ce qui fait intervenir plusieurs points coïncidents.

L'égalité \vec{a}_e=\frac{d \vec{v_e}}{dt} ne devient vraie que dans le cas particulier où le point coïncident reste le même au cours du temps, c'est-à-dire quand M est fixe dans R' .

  • L'accélération de Coriolis:

\vec{a}_c=2\vec{\Omega}_{(R'/R)}\wedge \vec{v}_r

La formule de composition des accélérations est alors donnée par :

\vec{a}_a=\vec{a}_r+\vec{a}_e+\vec{a}_c

Voir aussi[modifier | modifier le code]