Complétion d'une mesure

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Une mesure \mu est dite complète lorsque tout ensemble négligeable pour cette mesure appartient à la tribu sur laquelle \mu est définie[1].

Lorsqu'une mesure n'est pas complète, il existe un procédé assez simple de complétion de la mesure, c'est-à-dire de construction d'une mesure complète apparentée de très près à la mesure initiale. Ainsi la mesure de Lebesgue (considérée comme mesure sur la tribu de Lebesgue) est la complétion de la mesure dite parfois « mesure de Borel-Lebesgue », c'est-à-dire sa restriction à la tribu borélienne.

Le procédé utilisé par Lebesgue pour construire la mesure à laquelle on a donné son nom, à savoir l'utilisation judicieuse d'une mesure extérieure, peut être appliqué à une mesure \sigma-finie abstraite et fournit une autre méthode de production de sa complétion.

Mesure complète[modifier | modifier le code]

Définition — Soit \ (X,\mathcal{A},\mu) un espace mesuré, on dit que \mu est une mesure complète lorsque tout ensemble négligeable pour \mu appartient à la tribu \mathcal{A}.

Dit plus formellement, \mu est complète lorsque :

\forall M,\, N\in\mathcal{P}(X), \left(N\subset M,\, M\in\mathcal{A}\hbox{ et }\mu(M)=0\right)\Rightarrow N\in\mathcal{A}.

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Définition de la mesure complétée[modifier | modifier le code]

Pour \ (X,\mathcal{A},\mu) un espace mesuré, on note

{\mathcal{A}}_\mu' = \{A\cup N\,\mid\,A\in\mathcal{A},\ N \hbox { partie négligeable de } X\}.

Comme le rappelle la notation, cette extension de la tribu \mathcal{A} dépend de \mu, puisque la notion de partie négligeable n'a sens que vis-à-vis d'une mesure bien précisée.

Théorème — Soit \ (X,\mathcal{A},\mu) un espace mesuré, et \mathcal{A}_\mu' l'extension de \mathcal{A} décrite ci-dessus. Alors :

  • si on pose \mu'(A\cup N)=\mu(A) pour A\in\mathcal{A} et N négligeable, ceci constitue une définition cohérente et on a ainsi construit une mesure sur l'espace mesurable (X,\mathcal{A}_\mu') ;
  • cette mesure \mu' est une mesure complète prolongeant \mu ;
  • \mu' est minimale au sens suivant : toute mesure complète prolongeant \mu prolonge aussi \mu'[2].

La mesure \mu' construite ci avant est appelée la mesure complétée de \mu, la tribu \mathcal{A}_\mu' étant appelée la tribu complétée de \mathcal{A} relativement à \mu.

Exemples : mesure de Lebesgue et complétion[modifier | modifier le code]

  • Sur \R^n, la tribu de Lebesgue est la complétée de la tribu borélienne pour la mesure de Lebesgue (restreinte aux boréliens). Selon le point de vue adoptée, ce peut être la définition de la tribu de Lebesgue[3] ou un théorème à la preuve moyennement consistante[4] ; dans cette deuxième hypothèse, la définition de la mesure de Lebesgue a reposé sur une construction de mesure extérieure et les idées de la preuve sont grosso modo les mêmes que celles utilisées pour prouver le théorème plus général figurant ci-dessous à la section « Mesure complétée et mesure extérieure ».
  • Notons \lambda la mesure de Lebesgue sur \R, définie sur la tribu de Lebesgue. Si on travaille dans une théorie des ensembles garantissant l'existence d'ensembles non-mesurables au sens de Lebesgue (typiquement avec l'axiome du choix), le produit \lambda\otimes\lambda n'est pas une mesure complète. En effet si A est un ensemble non mesurable, A\times\{0\} n'appartient pas à la tribu produit alors pourtant qu'il est négligeable pour la mesure produit. La mesure de Lebesgue sur \R^2 n'est ainsi pas égale à \lambda\otimes\lambda mais en est seulement la complétée[5].

Propriétés de la mesure complétée[modifier | modifier le code]

Variantes dans les définitions[modifier | modifier le code]

Les variantes suivantes sont faciles à prouver, voire évidentes pour certaines :

Variantes dans la définition de la tribu complétée.

Avec les notations de la section précédente,

  • les éléments de la tribu complétée sont caractérisés par :
B\in\mathcal{A}_\mu'\iff \hbox{ il existe } A_1\in\mathcal{A}\hbox{ et }A_2\in\mathcal{A}\hbox{ avec }A_1\subset B\subset A_2\hbox{ et }\mu(A_2\setminus A_1)=0[6].
  • on a aussi :
\mathcal{A}_\mu' = \{A\,\Delta\,N\,\mid\,A\in\mathcal{A},\ N \hbox { partie négligeable de } X\},

(où \Delta symbolise la différence symétrique)[7].

Variante dans la définition de la mesure complétée.

Toujours avec les mêmes notations on peut écrire, pour B dans la tribu complétée :

\mu'(B)=\sup_{{A\in\mathcal A}\atop{A\subset B}}\mu(A)[6].

Permanence des classes de fonctions mesurables[modifier | modifier le code]

Le résultat ci-dessous[8] montre que, bien qu'il y ait évidemment davantage de fonctions mesurables à valeurs réelles au départ de (X,\mathcal{A}_\mu') qu'au départ de (X,\mathcal{A}), les classes d'équivalence pour l'égalité presque partout (et donc les espaces L^p) sont les mêmes.

Proposition — Soit (X,\mathcal{A},\mu) un espace mesuré dont on note (X,\mathcal{A}_\mu',\mu') le complété. Pour toute fonction f à valeurs réelles mesurable au départ de (X,\mathcal{A}_\mu'), il existe une fonction \tilde f qui lui soit presque partout égale et qui soit mesurable au départ de (X,\mathcal{A}).

Si f est à valeur positives ou nulles, on peut construire \tilde f vérifiant :

0\leq\tilde f\leq f.

Mesure complétée et mesure extérieure[modifier | modifier le code]

Étant donné un espace mesuré \ (X,\mathcal{A},\mu), on peut définir sur \mathcal{P}(X) une mesure extérieure \mu^* par la formule :

\mu^*(B)=\inf\left\{\sum_{n=0}^{+\infty}\mu(A_n)\,\mid\,A_n\in\mathcal{A},\,B\subset\bigcup_{n=0}^{+\infty}A_n\right\}.

On définit ensuite les ensembles mesurables pour \mu^* comme les parties B de X qui vérifient la propriété :

\forall E\subset X, \mu^*(E\cap B)+\mu^*(E\setminus B)=\mu^*(E).

On note alors \mathcal{M}(\mu^*) l'ensemble des parties mesurables pour \mu^*. Il s'avère que \mathcal{M}(\mu^*) est une tribu qui étend \mathcal{A}, et que la restriction de \mu^* à cette tribu est une mesure, qui prolonge \mu.

Ces notations et rappels étant posés, on peut énoncer le théorème suivant[9] :

Théorème — Avec les notations qui précèdent, la restriction de \mu^* à \mathcal{M}(\mu^*) est une mesure complète. Si la mesure \mu est \sigma-finie, cette mesure complète coïncide avec la complétion de \mu.

La preuve repose sur le lemme facile suivant :

Lemme — Avec les notations qui précèdent, pour tout ensemble \mu^*-mesurable B, il existe un A\in\mathcal{A} contenant B et pour lequel

\mu^*(B)=\mu(A).

La partie A est appelée une couverture mesurable de B.

Lorsque \mu n'est pas \sigma-finie, la tribu \mathcal{M}(\mu^*) peut être plus étendue que la tribu complétée. Ainsi pour un ensemble X ayant au moins deux éléments, si on considère \mathcal{A}=\{\emptyset,X\} et \mu la mesure sur cette tribu valant +\infty sur X, la mesure \mu est déjà complète alors que l'extension par mesure extérieure est une extension à \mathcal{P}(X) tout entier[9].

Références[modifier | modifier le code]

  1. Marc Briane & Gilles Pagès, Théorie de l'intégration, Paris, Vuibert, coll. « Les grands cours Vuibert »,‎ octobre 2000, 302 p. (ISBN 2-7117-8946-2), p. 255
  2. Briane-Pagès, op. cit., p. 255. La minimalité, par ailleurs évidente, est explicitement mentionnée par Herbert Amann et Joachim Escher, Analysis III, Springer,‎ 2009 (ISBN 9783764374792) p.21
  3. Voir par exemple Briane-Pagès, op. cit., p. 257
  4. Voir par exemple Donald L. Cohn, Measure theory, Birkhäuser,‎ 1980 (ISBN 9783764330033), p. 37-38 - la preuve y couvre environ une page.
  5. Briane-Pagès, op. cit., p. 263-264
  6. a et b Coh, op. cit., p. 36
  7. Gearoid De Barra, Measure Theory and Integration, New Age International,‎ 2008 (ISBN 9780852261866), p. 101
  8. Briane-Pagès, op. cit., p. 265
  9. a et b Richard M. Dudley, Real analysis and probability, Cambridge University Press,‎ 2002 (ISBN 9780521007542), p. 103