Clôture normale (théorie des groupes)

En théorie des groupes, la clôture normale d'un sous-ensemble $S$ d'un groupe $G$ est le plus petit sous-groupe normal de $G$ contenant $S.$

Définitions équivalentes

• La clôture normale $\operatorname {cln} _{G}(S)$ de $S$ dans $G$ est l'intersection de tous les sous-groupes normaux de $G$ contenant $S$ :
  $$\mathrm {cln} _{G}(S)=\bigcap _{S\subseteq N\triangleleft G}N.$$
• Le sous-groupe $\operatorname {cln} _{G}(S)$ est engendré par l'ensemble $S^{G}=\{s^{g}:g\in G\}=\{g^{-1}sg:g\in G\}$ de tous les conjugués dans $G$ des éléments de $S.$
• On peut donc aussi écrire
  $$\mathrm {cln} _{G}(S)=\{g_{1}^{-1}s_{1}^{\epsilon _{1}}g_{1}\dots g_{n}^{-1}s_{n}^{\epsilon _{n}}g_{n}:n\geq 0,\epsilon _{i}=\pm 1,s_{i}\in S,g_{i}\in G\}.$$

Propriétés

Tout sous-groupe normal est égal à sa clôture normale.

La clôture normale de l'ensemble vide est le sous-groupe trivial.

Il existe d'autres notations pour la clôture normale dans la littérature, comme $\langle S^{G}\rangle ,$$\langle S\rangle ^{G},$$\langle \langle S\rangle \rangle _{G}$ ou $\langle \langle S\rangle \rangle ^{G}.$

Le dual du concept de clôture normale est celui d'intérieur normal ou cœur, défini comme le sous-groupe engendré par la réunion des sous-groupes normaux de $G$ contenus dans $S$.

Présentation de groupe

Pour un groupe donné par une présentation $G=\langle S\mid R\rangle$ avec des générateurs $S$ et des relations $R,$ il est équivalent de définir $G$ comme le groupe quotient $G=F(S)/\mathrm {cln} _{F(S)}(R),$ où $F(S)$ est un groupe libre sur $S$.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Normal closure (group theory) » (voir la liste des auteurs).