Dans un espace affine euclidien
E
{\displaystyle E}
, un champ de vecteurs
(
V
P
→
)
P
∈
E
{\displaystyle ({\overrightarrow {V_{P}}})_{P\in E}}
est équiprojectif [ 1] si :
∀
P
∈
E
,
∀
Q
∈
E
,
(
V
P
→
|
P
Q
→
)
=
(
V
Q
→
|
P
Q
→
)
{\displaystyle \forall P\in E,\forall Q\in E,({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {PQ}})=({\overrightarrow {V_{Q}}}|{\overrightarrow {PQ}})}
où
(
⋅
|
⋅
)
{\displaystyle (\cdot |\cdot )}
désigne le produit scalaire .
Il existe alors un endomorphisme antisymétrique
u
{\displaystyle u}
tel que :
∀
P
∈
E
,
∀
Q
∈
E
,
V
Q
→
=
V
P
→
+
u
(
P
Q
)
→
{\displaystyle \forall P\in E,\forall Q\in E,{\overrightarrow {V_{Q}}}={\overrightarrow {V_{P}}}+u({\overrightarrow {PQ)}}}
.
Cette notion est utilisée en physique, voir Équiprojectivité en physique .
Soit
O
{\displaystyle O}
un point arbitraire de
E
{\displaystyle E}
. Pour tout vecteur
x
→
{\displaystyle {\overrightarrow {x}}}
, il existe un unique point
P
{\displaystyle P}
tel que
x
→
=
O
P
→
{\displaystyle {\overrightarrow {x}}={\overrightarrow {OP}}}
et on définit
u
{\displaystyle u}
par
u
(
x
→
)
=
V
P
→
−
V
O
→
{\displaystyle u({\overrightarrow {x}})={\overrightarrow {V_{P}}}-{\overrightarrow {V_{O}}}}
.
Montrons que, pour tous vecteurs
x
→
=
O
P
→
{\displaystyle {\overrightarrow {x}}={\overrightarrow {OP}}}
et
y
→
=
O
Q
→
{\displaystyle {\overrightarrow {y}}={\overrightarrow {OQ}}}
, on a :
(
u
(
x
→
)
|
y
→
)
=
−
(
x
→
|
u
(
y
→
)
)
{\displaystyle (u({\overrightarrow {x}})|{\overrightarrow {y}})=-({\overrightarrow {x}}|u({\overrightarrow {y}}))}
ce qui prouve l'antisymétrie de
u
{\displaystyle u}
[ 2] .
On a en effet :
(
u
(
x
→
)
|
y
→
)
=
(
V
P
→
−
V
O
→
|
O
Q
→
)
=
(
V
P
→
|
O
Q
→
)
−
(
V
O
→
|
O
Q
→
)
{\displaystyle (u({\overrightarrow {x}})|{\overrightarrow {y}})=({\overrightarrow {V_{P}}}-{\overrightarrow {V_{O}}}|{\overrightarrow {OQ}})=({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {OQ}})-({\overrightarrow {V_{O}}}|{\overrightarrow {OQ}})}
=
(
V
P
→
|
O
Q
→
)
−
(
V
Q
→
|
O
Q
→
)
{\displaystyle =({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {OQ}})-({\overrightarrow {V_{Q}}}|{\overrightarrow {OQ}})}
en utilisant l'équiprojectivité du champ
V
{\displaystyle V}
=
(
V
P
→
|
O
P
→
+
P
Q
→
)
−
(
V
Q
→
|
O
Q
→
)
{\displaystyle =({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {OP}}+{\overrightarrow {PQ}})-({\overrightarrow {V_{Q}}}|{\overrightarrow {OQ}})}
=
(
V
P
→
|
O
P
→
)
+
(
V
P
→
|
P
Q
→
)
−
(
V
Q
→
|
O
Q
→
)
{\displaystyle =({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {OP}})+({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {PQ}})-({\overrightarrow {V_{Q}}}|{\overrightarrow {OQ}})}
=
(
V
P
→
|
O
P
→
)
+
(
V
Q
→
|
P
Q
→
)
−
(
V
Q
→
|
O
Q
→
)
{\displaystyle =({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {OP}})+({\overrightarrow {V_{Q}}}|{\overrightarrow {PQ}})-({\overrightarrow {V_{Q}}}|{\overrightarrow {OQ}})}
en utilisant de nouveau l'équiprojectivité.
Si on échange les rôles de
x
→
{\displaystyle {\overrightarrow {x}}}
et
y
→
{\displaystyle {\overrightarrow {y}}}
, on obtiendra :
(
x
→
|
u
(
y
→
)
)
=
(
u
(
y
→
)
|
x
→
)
=
(
V
Q
→
|
O
Q
→
)
+
(
V
P
→
|
Q
P
→
)
−
(
V
P
→
|
O
P
→
)
{\displaystyle ({\overrightarrow {x}}|u({\overrightarrow {y}}))=(u({\overrightarrow {y}})|{\overrightarrow {x}})=({\overrightarrow {V_{Q}}}|{\overrightarrow {OQ}})+({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {QP}})-({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {OP}})}
On obtient bien :
(
u
(
x
→
)
|
y
→
)
=
−
(
x
→
|
u
(
y
→
)
)
{\displaystyle (u({\overrightarrow {x}})|{\overrightarrow {y}})=-({\overrightarrow {x}}|u({\overrightarrow {y}}))}
On déduit de l'antisymétrie que
u
{\displaystyle u}
est linéaire. En effet, pour tout
x
→
{\displaystyle {\overrightarrow {x}}}
,
y
→
{\displaystyle {\overrightarrow {y}}}
,
λ
{\displaystyle \lambda }
, on a :
(
u
(
λ
x
→
)
|
y
→
)
=
−
(
λ
x
→
|
u
(
y
→
)
)
=
−
λ
(
x
→
|
u
(
y
→
)
)
=
λ
(
u
(
x
→
)
|
y
→
)
=
(
λ
u
(
x
→
)
|
y
→
)
{\displaystyle \left(u\left(\lambda {\overrightarrow {x}}\right)|{\overrightarrow {y}}\right)=-(\lambda {\overrightarrow {x}}|u({\overrightarrow {y}}))=-\lambda ({\overrightarrow {x}}|u({\overrightarrow {y}}))=\lambda (u({\overrightarrow {x}})|{\overrightarrow {y}})=(\lambda u({\overrightarrow {x}})|{\overrightarrow {y}})}
Cette égalité étant vraie pour tout
y
→
{\displaystyle {\overrightarrow {y}}}
, on en déduit que :
u
(
λ
x
→
)
=
λ
u
(
x
→
)
{\displaystyle u\left(\lambda {\overrightarrow {x}}\right)=\lambda u\left({\overrightarrow {x}}\right)}
On procède de même pour montrer que :
u
(
x
→
+
x
′
→
)
=
u
(
x
→
)
+
u
(
x
′
→
)
{\displaystyle u({\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {x'}})=u({\overrightarrow {x}})+u({\overrightarrow {x'}})}
Dans une base orthonormée directe,
u
{\displaystyle u}
, étant un endomorphisme antisymétrique, possède une matrice antisymétrique [ 1]
(
0
−
c
b
c
0
−
a
−
b
a
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-c&b\\c&0&-a\\-b&a&0\\\end{pmatrix}}}
Si on nomme
Ω
→
{\displaystyle {\overrightarrow {\Omega }}}
le vecteur de composantes
(
a
b
c
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}}
, alors la matrice précédente est celle de l'application
x
→
↦
Ω
→
∧
x
→
{\displaystyle {\overrightarrow {x}}\mapsto {\overrightarrow {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {x}}}
.
On a donc
∀
x
→
,
u
(
x
→
)
=
Ω
→
∧
x
→
{\displaystyle \forall {\overrightarrow {x}},u({\overrightarrow {x}})={\overrightarrow {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {x}}}
et donc
V
Q
→
=
V
P
→
+
Ω
→
∧
P
Q
→
{\displaystyle {\overrightarrow {V_{Q}}}={\overrightarrow {V_{P}}}+{\overrightarrow {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {PQ}}}
(
V
P
→
)
P
∈
E
{\displaystyle ({\overrightarrow {V_{P}}})_{P\in E}}
est le champ des moments d'un torseur de résultante
Ω
→
{\displaystyle {\overrightarrow {\Omega }}}
.
L'exemple typique de champ équiprojectif en dimension 3 est le champ des vitesses d'un solide en mouvement. En effet, si
P
{\displaystyle P}
et
Q
{\displaystyle Q}
sont deux points du solide, et si on note
d
{\displaystyle d}
la distance entre
P
{\displaystyle P}
et
Q
{\displaystyle Q}
, on a :
‖
P
Q
→
‖
2
=
d
2
=
(
P
Q
→
|
P
Q
→
)
{\displaystyle \|{\overrightarrow {PQ}}\|^{2}=d^{2}=\left({\overrightarrow {PQ}}|{\overrightarrow {PQ}}\right)}
et en dérivant par rapport au temps :
(
V
Q
→
−
V
P
→
|
P
Q
→
)
=
0
{\displaystyle \left({\overrightarrow {V_{Q}}}-{\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {PQ}}\right)=0}
où
V
→
{\displaystyle {\overrightarrow {V}}}
désigne la vitesse en un point.
Le champ des vitesses est donc un torseur. Le vecteur
Ω
→
{\displaystyle {\overrightarrow {\Omega }}}
s'appelle vecteur instantané de rotation.
E. Ramis , C. Deschamps et J. Odoux , Algèbre et applications à la géométrie , Paris/New York/Barcelone/1987, Masson, coll. « Cours de mathématiques spéciales » (no 2), 1987 , 297 p. (ISBN 2-225-63404-1 ) , chap. 8 (« Les torseurs »), p. 276-294