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Champ équiprojectif

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Dans un espace affine euclidien , un champ de vecteurs est équiprojectif[1] si :

désigne le produit scalaire.

Il existe alors un endomorphisme antisymétrique tel que :

.

Cette notion est utilisée en physique, voir Équiprojectivité en physique.

Démonstration de l'existence de l'endomorphisme

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Antisymétrie

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Soit un point arbitraire de . Pour tout vecteur , il existe un unique point tel que et on définit par .

Montrons que, pour tous vecteurs et , on a :

ce qui prouve l'antisymétrie de [2].

On a en effet :

en utilisant l'équiprojectivité du champ
en utilisant de nouveau l'équiprojectivité.

Si on échange les rôles de et , on obtiendra :

On obtient bien :

Linéarité

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On déduit de l'antisymétrie que est linéaire. En effet, pour tout , , , on a :

Cette égalité étant vraie pour tout , on en déduit que :

On procède de même pour montrer que :

Cas de la dimension 3, torseur

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Dans une base orthonormée directe, , étant un endomorphisme antisymétrique, possède une matrice antisymétrique[1]

Si on nomme le vecteur de composantes , alors la matrice précédente est celle de l'application .

On a donc et donc

est le champ des moments d'un torseur de résultante .

L'exemple typique de champ équiprojectif en dimension 3 est le champ des vitesses d'un solide en mouvement. En effet, si et sont deux points du solide, et si on note la distance entre et , on a :

et en dérivant par rapport au temps :

désigne la vitesse en un point.

Le champ des vitesses est donc un torseur. Le vecteur s'appelle vecteur instantané de rotation.

Notes et références

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  1. a et b « Champ de vecteurs - Champ de vecteurs équiprojectif », sur jdotec.net (consulté le )
  2. « Cinématique du solide » [PDF], sur melusine.eu.org (consulté le )

Bibliographie

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  • E. Ramis, C. Deschamps et J. Odoux, Algèbre et applications à la géométrie, Paris/New York/Barcelone/1987, Masson, coll. « Cours de mathématiques spéciales » (no 2), , 297 p. (ISBN 2-225-63404-1), chap. 8 (« Les torseurs »), p. 276-294

Articles connexes

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