Brique d'Euler

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Une brique d'Euler (du nom du mathématicien Leonhard Euler) est un parallélépipède rectangle dont les côtés et les diagonales des faces ont des longueurs entières.

Formulation arithmétique[modifier | modifier le code]

Les dimensions d'une brique d'Euler correspondent à une solution au système d'équations diophantiennes :

\begin{cases} a^2 + b^2 = d^2\\ b^2 + c^2 = e^2\\ a^2 + c^2 = f^2\end{cases}

Euler a trouvé au moins deux solutions paramétriques à ce problème, mais n'a pas donné toutes les solutions[1].

Propriété[modifier | modifier le code]

Pour une brique d'Euler donnée de côtés (a, b, c), le triplet (bc, ac, ab) constitue également une brique d'Euler.

Exemples[modifier | modifier le code]

La plus petite brique d'Euler, découverte par Paul Halcke en 1719, a pour côtés (a, b, c) = (240, 117, 44) et les diagonales des faces sont 267, 244, et 125.

Voici d'autres solutions — on donne les longueurs des côtés sous forme d'un triplet (a, b, c) — :

  • (275, 252, 240),
  • (693, 480, 140),
  • (720, 132, 85), et
  • (792, 231, 160).

Brique parfaite d'Euler[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Brique parfaite d'Euler.

Une brique parfaite d’Euler est un parallélépipède rectangle dont les côtés, les diagonales des faces et la diagonale principale qui joint deux sommets opposés ont toutes des longueurs entières. Aucun exemple de cette brique parfaite n’est connu à ce jour.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. « Euler Brick », sur Mathworld (consulté le 14 juillet 2010)

Articles connexes[modifier | modifier le code]