Théorème d'Iwaniec-Richert

Le théorème d'IwaniecHenryk Iwaniec et RichertHans-Egon Richert peut s'énoncer ainsi :

Il existe une infinité d'entiers $n$ tel que $n^{2}+1$ soit un nombre premier ou 2-presque premier (c’est-à-dire un nombre premier ou semi-premier) .

Ce résultat a été obtenu par Iwaniec en 1978. Il fait suite à un article de B. V. Levin de 1960, dans lequel ce dernier montre que la suite $(n^{2}+1)_{n=1,...,N}$ contient au moins

${\frac {aN}{\ln N}}+O\left({\frac {N\ln \ln N}{(\ln N)^{3/2}}}\right)$

éléments ayant au plus cinq facteurs premiers, où $a>0$.

En 1974, HalberstamHeini Halberstam et Richert, dans leur ouvrage Sieve methods, ont obtenu le résultat effectif suivant. Soit $a$ un entier qui ne soit pas l'opposé d'un carré parfait, et soient $1<y\leq x$ des nombres réels. Alors, le nombre d'entiers $n$ vérifiant $x-y<n\leq x^{2}$ et tels que $n^{2}+a$ soit un nombre premier est majoré par :

$2\prod _{p>2,\,p\mid a}\left(1-{\frac {(-a/p)}{p-1}}\right){\frac {y}{\ln y}}\times \left\{1+O_{a}\left({\frac {\ln \ln 3y}{\ln y}}\right)\right\},$

où $(-a/p)$ désigne le symbole de Legendre-Jacobi-Kronecker.

Référence

(en) H. Iwaniec, « Almost-primes represented by quadratic polynomials », Invent. Math., vol. 47, n^o 2,‎ 1978, p. 178–188 (DOI 10.1007/BF01578070)

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