« Topologie arithmétique » : différence entre les versions
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En mathématiques, la topologie arithmétique est un domaine des mathématiques liant la théorie algébrique des nombres et la topologie. Elle établit en particulier une analogie entre les corps de nombres et les 3-variétés fermées et orientables.
Voici quelques-unes des analogies entre corps de nombres et 3-variétés[1]:
- Un corps de nombres correspond à une 3-variété fermée et orientable
- Les idéaux dans l'anneau des entiers correspondent aux entrelacs et les idéaux premiers correspondent aux nœuds.
- Le corps Q des nombres rationnels correspond à la 3-sphère.
En développant les deux derniers exemples, il existe une analogie entre nœuds et nombres premiers dans laquelle on considère les « entrelacs » entre nombres premiers. Les triplets de nombres premiers (13, 61, 937) sont « entrelacés » modulo 2 (de symbole de Rédei −1) mais sont « non entrelacés par paire » modulo 2 (les symboles Legendre valent 1). Par conséquent, ces nombres premiers sont dit « triplet borroméen modulo 2 ».
Histoire
Dans les années 1960, des interprétations topologiques de la théorie des champs de classes ont été données par John Tate[2] en terme de cohomologie de Galois, ainsi que par Michael Artin et Jean-Louis Verdier en terme de cohomologie étale. Puis David Mumford (et indépendamment Yuri Manin) ont proposé une analogie entre les idéaux premiers et les nœuds ensuite explorée par Barry Mazur[3],[4]. Dans les années 1990, Reznikov[5] et Kapranov[6] donnent le terme de topologie arithmétique pour ce domaine d'étude.
Articles connexes
Références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Arithmetic topology » (voir la liste des auteurs).
- Sikora, Adam S. "Analogies between group actions on 3-manifolds and number fields." Commentarii Mathematici Helvetici 78.4 (2003): 832-844.
- J. Tate, Duality theorems in Galois cohomology over number fields, (Proc. Intern. Cong. Stockholm, 1962, p. 288-295).
- Remarks on the Alexander Polynomial, Barry Mazur, c.1964
- B. Mazur, Notes on ´etale cohomology of number fields, Ann. scient. ´Ec. Norm. Sup. 6 (1973), 521-552.
- A. Reznikov, Three-manifolds class field theory (Homology of coverings for a nonvirtually b1-positive manifold), Sel. math. New ser. 3, (1997), 361–399.
- M. Kapranov, Analogies between the Langlands correspondence and topological quantum field theory, Progress in Math., 131, Birkhäuser, (1995), 119–151.
Lectures complémentaires
- Masanori Morishita (2011), Knots and Primes, Springer, (ISBN 978-1-4471-2157-2)
- Masanori Morishita (2009), Analogies Between Knots And Primes, 3-Manifolds And Number Rings
- Christopher Deninger (2002), A note on arithmetic topology and dynamical systems
- Adam S. Sikora (2001), Analogies between group actions on 3-manifolds and number fields
- Curtis T. McMullen (2003), From dynamics on surfaces to rational points on curves
- Chao Li and Charmaine Sia (2012), Knots and Primes