Énergie de Dirichlet

En mathématiques le terme d'énergie, ou énergie de Dirichlet est employé pour désigner une quantité numérique associée à une application : même si la forme précise varie selon les contextes, il s'agit de l'intégrale du carré de sa dérivée. L'énergie est une quantité associée à des problèmes de minimisation : résolution du problème de Dirichlet en théorie du potentiel, recherche de géodésiques ou d'applications harmoniques en géométrie riemannienne.

En théorie du signal il existe une énergie de forme voisine mais ne faisant pas apparaître de dérivée.

Définition sur un ouvert de l'espace euclidien

Soit $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ un ouvert de l'espace euclidien de dimension n. Pour toute fonction u appartenant à l'espace de Sobolev $H^{1}(\Omega )$, on introduit son énergie de Dirichlet

$E(u)={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\|(\nabla u)(x)\|^{2}\mathop {d} x$

La fonctionnelle énergie ainsi construite est à valeurs positives. La résolution de l'équation de Laplace $\Delta f=0$, avec des conditions de bord (comme le problème de Dirichlet) peut alors se reformuler comme une question de minimisation de cette énergie.

Par extension, certaines fonctionnelles proches et traitées par des arguments similaires peuvent être elles aussi qualifiées d'énergie ou d'énergie de Dirichlet. Par exemple on peut employer une norme de Sobolev plus générale, avec un exposant autre que 2.

Voir aussi

Bibliographie

• (en) Jürgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, 2002 [détail des éditions]

Articles liés

• Calcul des variations
• Géodésique
• Problème de l'obstacle
• Problème de Dirichlet