Théorie de la décision dans l'incertain

La décision dans l'incertain est l'une des principales branches de la théorie de la décision, à l'instar de la décision multicritère et de la décision collective. La décision dans l'incertain traite des situations de choix où le décideur est amené à prendre des décisions dans un environnement incertain.

Incertitude

L'incertain se rencontre dans de nombreuses situations de la vie courante, ou encore dans de nombreuses problématiques scientifiques (mécanique quantique, économie, médecine, informatique, ...). L'incertain provient notamment de tous les événements que nous ne sommes pas capables de prédire avec certitude. Un exemple classique d'événement incertain est la météo. De nombreux débats existent dans la littérature scientifique sur l'existence réelle de l'incertain. Par exemple, en physique, les concepts de déterminisme basés sur les modèles Newtoniens, très à la mode aux XVIIIe et XIXe siècles, maintiennent que tout peut être prédit avec certitude. Néanmoins, les physiciens en mécanique quantique ont mis en évidence que la théorie Newtonienne ne s'appliquait plus dans leur cadre. Heisenberg ajoute même que les événements qui se réalisent au niveau subatomique surviennent de façon complètement incertaine. Sans s'étendre sur l'existence réelle ou non de l'incertain et sa nature, nous adoptons ici le point de vue des économistes, qui diffère du point de vue des physiciens ou des philosophes. En économie, est considéré comme faisant partie de l'incertain tout ce qui relève de l'ignorance de l'Homme. Par exemple il est tout à fait possible, en théorie, de prédire le résultat d'un jet de dé si nous disposons de tous les facteurs auxquels il est soumis. Mais à l'échelle humaine, l'ignorance de ces facteurs ainsi que la complexité des calculs à mettre en oeuvre, font que le résultat a piori du jet de dé est indéterminé.

Dans la théorie des probabilités, une épreuve aléatoire est un phénomène pour lequel toutes les issues possibles sont connues, mais dont on ignore celle qui se réalisera vraiment. L'ensemble des états de la nature $\Omega$ correspond à l'ensemble des issues possibles d'une épreuve aléatoire. On appelle événement toute proposition logique qui peut être vérifiée ou non à l'issue de la réalisation d'une épreuve aléatoire. Un événement est représentable de manière unique par un sous-ensemble de $\Omega$. L'événement $A\in \Omega$ est réalisé si l'état de la nature $\omega \in \Omega$ qui se réalise appartient à $A$. Un événement élémentaire est un événement composé d'un seul élément $\omega \in \Omega$.

Problème de décision sous incertitude

Dans un problème de décision sous incertitude, les événements conduisent à différentes conséquences. Le décideur est alors amené à réaliser un choix entre plusieurs épreuves aléatoires menant à différents ensembles de conséquences. C'est épreuves aléatoires sont appelées loteries. Une loterie est un ensemble d'événements disjoints associées à des conséquences dont l'union de ces événements donne l'événement certain $\Omega$. Plus formellement, si $X=\{x_{1},...,x_{n}\}$ est un ensemble fini de $n$ conséquences réelles, on note $L=(x_{1},p_{1};...;x_{n},p_{n})$ la loterie qui associe la conséquence $x_{i}$ à chaque événement $e_{i}\in \Omega$ pour tout $0<i\leq n$ avec $\cup _{i=1}^{n}e_{i}=\Omega$ et $e_{i}\cap e_{2}=\emptyset$ pour tout $0<i<j\leq n$.

On définit la relation de préférence $\succsim$ sur les loteries qui se lit est préféré à. La partie symétrique $\sim$ et la partie asymétrique $\succ$se lisent respectivement est indifférente à et est strictement préférée à. Dans l'optique de comparer les différentes loteries d'un problème de décision, la théorie de la décision dans l'incertain propose d'utiliser une fonction d'évaluation $V:X\rightarrow \mathbb {R}$ (ou fonction de valeur ou encore fonction représentative des préférences) pour décrire les préférences du décideurs entre les loteries (i.e., pour toutes loteries $L_{1}$ et $L_{2},L_{1}\succsim L_{2}\Leftrightarrow V(L_{1})\geq V(L_{2})$.

Exemple 1 - Situation de décision sous incertitude

Un décideur peut choisir d'assurer sa voiture contre le vol pour un an (décision $d_{1}$) ou pas (décision $d_{2}$). Au cours de cette année il peut soit se faire voler sa voiture (événement $e_{1}$) soit pas (événement $e_{2}$). De plus nous savons que la voiture a une valeur de 100000€ et que l'assurance contre le vol coûte 5000€. Dans cet exemple le décideur est soumis au choix entre deux loteries, la loterie $L_{1}=(-5000,e_{1};-5000,e_{2})$ qui découle de la décision $d_{1}$ et la loterie $L_{2}=(-100000,e_{1};0,e_{2})$ qui découle de la décision $d_{2}$. Le tableau ci-dessous illustre la situation de choix soumis au décideur. Si le décideur choisit de s'assurer alors $V(L_{1})>V(L_{2})\Rightarrow L_{1}\succ L_{2}$.

Exemple 1

	$e_{1}$	$e_{2}$
$d_{1}$	-5000€	-5000€
$d_{2}$	-100000€	0€

Raisonner sous incertitude

Pour raisonner dans l'incertain, il est nécessaire de prendre en compte le type de donnée dont on dispose. En 1921, Frank Knight distinque le risque et l'incertitude. Il définit par le terme de risque toutes les situations pour lesquelles il existe une distribution de probabilité connue du décideur, sur l'ensemble des états de la nature, et par le terme d'incertitude toutes les autres situations. Depuis la littérature scientifique propose plusieurs formalismes pour discriminer les cas d'incertitude. Les plus connues sont:

• Le risque : lorsque l'incertitude est représentée pas une distribution de probablité sur les événements.
• L'incertitude totale : lorsque l'on ne possède aucune information sur la vraisemblance des événements.
• Le risque imprécis : lorsque l'incertitude est représentée par une distribution de probabilité intervalle sur les événements élémentaires.
• Incertitude représenté par un emsemble de mesures de probabilités.
• Incertitude représentée par des fonction de croyances.
• Incertitude représentée par des mesures de possibilités.
• Incertitude représentée par une relation d'ordre sur la vraisemblance des événements.

Théorie de la décision dans le risque

Lorsque le décideur connait la distribution de probabilité s'appliquant sur l'ensemble des états de la nature, on dit que l'on est dans un problème de décision dans le risque. Dans le cadre du risque, on appelle loterie toute distribution de probablité sur un ensemble fini de conséquences réelles. Si $\{x_{1},...,x_{n}\}$ est un ensemble fini de $n$ conséquences réelles, on note alors $L=(x_{1},p_{1};...;x_{n},p_{n})$ la loterie qui associe la probabilité $p_{i}\in [0,1]$à la conséquence $x_{i}$telle que $\sum _{i=1}^{n}p_{i}=1$. Dans un problème de décision dans le risque, le décideur cherche alors à classer par ordre de préférence les loteries qui lui sont proposées afin de sélectionner celle qu'il préfère. Pour cela on utilise un fonction d'évaluation de loterie qui associe à chaque loterie une valeur réelle. La recherche d'une fonction d'évaluation de loterie permettant de décrire finement les préférences d'un décideur est un problème qui a fait couler beaucoup d'encre dans la littérature.

Espérance de gain et paradoxe de Saint-Petersbourg

Au XVIIe siècle, au moment où se développe la théorie moderne des probabilités, des mathématiciens comme Pascal et De Fermat font l'hypothèse que l'évaluation d'une loterie $L$ se fait via un calcul de son espérance de gain : $E(L)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\times x_{i}$. Cependant, il est intéressant de remarquer qu'un décideur qui prend ses décisions en fonction de l'espérance de gain peut parfois prendre des décisions étonnantes, comme le montre le paradoxe de Saint-Pétersbourg proposé initialement par Nicholas Bernoulli dans une lettre en 1713. Ce paradoxe a ensuite été repris et modifié par Daniel Bernoulli, son neveu, et a été discuté dans les Transactions de l'Académie de Saint-Pétersbourg, d'où son nom. Le principe du jeu de Saint-Pétersbourg est le suivant : on lance en l'air une pièce de monnaie. Si Face apparaît, la banque paie 2€ au joueur, et on arrête le jeu. Sinon, on relance la pièce. Si Face apparaît, la banque paie 4€ au joueur, et on arrête le

jeu. Sinon, on relance la pièce. Si Face apparaît, la banque paie 8€ au joueur, et ainsi de suite. Autrement dit, si Face apparaît pour la première fois au $n$-ième lancer, la banque paie $2^{n}$€ au joueur.

On propose maintenant au décideur de déterminer la somme qu'il serait prêt à miser pour jouer à ce jeu. Le décideur détermine alors la mise pour laquelle le jeu est équitable (au sens de l'espérance de gain), c'est à dire la mise maximale qu'il peut mettre en jeu pour que l'espérance de gain reste positive. Dans ce jeu pour gangner $2^{n}$ il faut faire $n-1$ fois Pile avant de faire Face, la probabilité de gagner $2^{n}$€ est donc de $1/2^{n}$. Ainsi l'espérance de gain de ce jeu, sans prendre en compte la mise, est de : $\sum _{i=1}^{+\infty }{\frac {1}{2^{i}}}\times 2^{i}=\sum _{i=1}^{+\infty }1$.

On en conclu qu'un décideur qui se fie à l'espérance de gain pour prendre ses décisions sera prêt à payer n'importe quelle mise pour pouvoir jouer à ce jeu, puisque son espérance de gain restera infinie quelque soit sa mise de départ. Pourtant aucun décideur raisonnable ne serait prêt à miser plus de quelques euros pour jouer à ce jeu.

Daniel Bernouilli résoud ce paradoxe en introduisant l'hypothèse selon laquelle les individus ne maximisent pas l'espérance de fain mais un espérance morale : $E(L)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\times u(x_{i})$ où $u$ est une fonction logarithmique. Pour Bernouilli, la valeur subjective d'un jeu n'augmente pas linéairement avec la valeur monétaire de la récompense, mais avec un taux décroissant. Sous une telle hypothèse de la non-linéarité du traitement des conséquences d'une loterie par le décideur, le paradoxe de Saint-Pétersbourg est complètement résolu. La fonction $u$ est appelée fonction d'utilité. Ce sont ces travaux qui ont inspiré la théorie de l'utilité espérée proposée par John von Neumann et Oskar Morgenstern.

Théorie de l'utilité espérée et modèle EU

La théorie de l'utilité espérée (aussi appelée théorie EU, de l'anglais « expected utility ») est une théorie de la décision en environnement risqué développée par John von Neumann et Oskar Morgenstern dans leur ouvrage Theory of Games and Economic Behavior (1944). Dans l'optique de fournir une théorie solide sur la modélisation des préférences d'un décideur en situation risquée, von Neuman et Morgenstern généralisent le modèle de Bernoulli fondé sur l'usage d'une fonction d'utilité. Ils montrent, après avoir définit un ensemble d'axiomes sur les préférences d'un décideur, qu'il est toujours possible de construire une fonction d'utilité sur les conséquences d'une loterie, demanière à ce que l'espérances de ces utilités sur les loteries conserve l'ordre de préférence entre les loteries du décideur. La fonction d'utilité construire est alors unique à une transformation affine croissante près. En d'autres termes, si la fonction $u$ modélise les préférences du décideur, alros il en est de même pour la fonction $v$ si et seulement si $v(x)=a\times u(x)+b$ avec $a$ un réel strictement positif et $b$ un réel quelconque. Le modèle de l'espérance d'utilité, sous de tels hypothèses revient alors à calculer l'espérance d'utilité de la lotterie : $EU(L)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\times u(x_{i})$ où $u$ est la fonction d'utilité construite via la théorie de l'utilité espérée. En 1953, Maurice Allais propose un paradoxe remettant en cause la capacité à décrire les compotements des décideurs, en illustrant la non validité de l'axiome d'indépendance posé par von Neumann et Morgenstern.

Le paradoxe d'Allais

Le contenu descriptif du modèle de décision EU a été rapidement critiqué dans une expérience restée célèbre sous le nom de « paradoxe d'Allais ». La version présentée ici est celle de Kahneman et Tversky. Les sujets doivent choisir entre deux paires de loteries. D'une part, entre $L_{1}=(3000,1)$ et $L_{1}'=(0,0.1;4000,0.9)$ et, d'autre part, entre $L_{2}=(0,0.9;3000,0.1)$ et $L_{2}'=(0,0.91;4000,0.09)$. Dans la première situation de choix, la grande majorité des décideurs soumises à cette expérience préfèrent la loterie $L_{1}$à la loterie $L_{1}'$(ils préfèrent être surs de gagner 3000€ que de risque de ne rien gagner, un tien vaut mieux que deux tu l'auras). Dans la seconde situation de choix, la majorité des décideurs préfèrent la loterie $L_{2}'$ à la loterie $L_{2}$(car la probabilité de gagner 4000€ dans la loterie $L_{2}'$ et presque la même que celle de gagner 3000€ dans la loterie $L_{2}$). Si on traduit ce préférences dans le cadre du modèle EU, on obtient alors :

${\begin{aligned}L_{1}\succ L_{1}'&\Leftrightarrow &EU(L_{1})>EU(L_{1}')\\&\Leftrightarrow &u(3000)>0.1\times u(0)+0.9\times u(4000)\\&\Leftrightarrow &0.1\times u(3000)>0.01\times u(0)+0.09\times u(4000)\\&\Leftrightarrow &0.1\times u(3000)+0.9\times u(0)>0.01\times u(0)+0.09\times u(4000)+0.9\times u(0)\\&\Leftrightarrow &0.1\times u(3000)+0.9\times u(0)>0.91\times u(0)+0.09\times u(4000)\\&\Leftrightarrow &L_{2}\succ L_{2}'\end{aligned}}$

Ainsi, quelle que soit la fonction d'utilité utilisée, la préférence pour $L_{1}$sur $L_{1}'$ est équivalente à la préférence pour $L_{2}$ sur $L_{2}'$. Ce qui est incompatible avec les résultats de l'expérience menée par Maurice Allais. Allais qualifie ce comportement, loin d'être paradoxal, comme un comportement raisonnable de préférence for security in the neighbourhood of certainty. Ce phénomène est connu sous le nom de l'effet de certitude. Ce phénomène est aujourd'hui bien connu sous le nom de l'effet de certitude . Le renversement de préférences s'explique ici simplement par l'attraction forte du passage de la quasi-certitude à la certitude, et à l'indifférence du passage du peu probable au un peu plus probable. A cela s'ajoute un phénomène de sur-pondération des résultats qui sont certains par rapport aux résultats qui ne sont que probables.

De nombreux autres exemples et critiques ont été formulés dans la littérature économique à l'encontre du modèle EU et la plupart s'accordent à dire que l'axiome d'indépendance est une hypothèse bien trop forte comme le montre le paradoxe d'Allais. Gayant qualifie même de paradoxal le fait de modéliser l'aversion au risque d'un décideur en se fondant sur une fonction portant uniquement sur les conséquences (sans la prise en compte d'éléments probabilistes). Au début du millénaire, Rabin énonce son théorème d'impossibilité sur le critère EU : l'impossibilité de traduire une aversion pour le risque lorsque les enjeux sont faibles dans le cadre du modèle EU. En effet, la concavité de la fonction d'utilité permet d'expliquer l'aversion au risque lorsque les enjeux sont très importants mais implique également une quasi-neutralité vis-à-vis du risque lorsque les enjeux sont plus faibles. En plus de rendre abusivement élevée l'aversion pour le risque lorsque les enjeux sont importants, de nombreuses expériences ont montré l'existence d'une aversion au risque sur les petits enjeux. L'existence d'une aversion pour les petits enjeux met alors en échec la

capacité du modèle EU à décrire l'aversion pour le risque. La solution suggérée pour sortir de ce théorème d'impossibilité est de décharger la fonction d'utilité pour qu'elle ne décrive plus l'aversion au risque mais se contente uniquement de son rôle premier de traduire le degré d'importance d'une conséquence pour le décideur. C'est ce que se propose de faire les modèles dit non-EU.

Modèles non-EU

Dans la multitude de propositions de modèles non-EU qu'aura connu le XXe siècle, certains ont marqué la communauté scientifique. C'est notement le cas du modèle de l'utilité espérée généralisée proposé par Machina. Ce dernier part du principe que le respect de l'axiome d'indépendance n'est pas une condition nécessaire pour préserver l'hypothèse de maximisation de l'utilité espérée. Ainsi, ce modèle rejette totalement l'axiome d'indépendance et pose des conditions analytiques sur les préférences. Si ce modèle résout quelques situations qui mettaient dans l'impasse le modèle EU, il reste encore trop proche du modèle EU et de légères modi�fications des paradoxes classiques (comme le paradoxe d'Allais) les font redevenir insolubles.

D'autres propositions de modèles se sont focalisées sur un affaiblissement de l'axiome d'indépendance. Ces modèles dits de betweenness restent néanmoins dans l'impasse dans des situations similaires au paradoxe d'Allais.

Enfin une autre famille de modèles reposant sur une restriction de l'axiome d'indépendance ont permis d'établir des modèles ayant un fort pouvoir descriptif des décideurs et pouvant résoudre n'umporte quel paradoxes connus. Cesm odèles sont dits à dépendance des rangs. Le plus connu étant celui de l'utilité espérée dépendant du rang (Rank Dependent Utility, RDU) proposé par Quiggin.

Le tableau ci-dessous propose une synthèse des principaux modèles non-EU dans la littérature.

Principaux modèles non-EU

	Modèles de décision
Rejet de l'axiome d'indépendance	- Utilité espérée généralisée (Machina, 1982)
Affaiblissement de l'axiome d'indépendance	- Utilité pondérée (Chew et McCrimmon, 1979) - Théorie de l'utilité SSB (Fishburn, 1982) - Utilité pondérée implicite (Chew, 1989) - Théorie de la déception (Gul, 1991)
Restriction de l'axiome d'indépendance	- Utilité espérée dépendant du rang, RDU (Quiggin, 1982) - Théorie duale, DT (Yaari, 1987) - Modèle de Allais (Allais, 1988) - Théorie des prospects cumulés, CPT (Tversky et Kahneman, 1992)