Paradoxe de Saint-Pétersbourg

Le paradoxe de Saint-Pétersbourg se résume à la question suivante: pourquoi alors que mathématiquement l'espérance de gain est infinie à un jeu les joueurs refusent-ils de jouer tout leur argent? Il s'agit donc non d'un problème purement mathématique mais d'un paradoxe du comportement des êtres humains face aux événements d'une variable aléatoire dont la valeur est probablement petite, mais dont l'espérance est infinie. Dans cette situation, la théorie des probabilités dicte une décision qu'aucun acteur raisonnable ne prendrait.

Historique

Ce paradoxe a été énoncé en 1713 par Nicolas Bernoulli. La première publication fut publiée par Daniel Bernoulli, “Specimen theoriae novae de mensura sortis” dans les Transactions de l'Académie de Saint-Petersbourg (d'où son nom). Mais cette théorie remonte à Gabriel Cramer dans un courrier privé à Nicolas Bernoulli (neveu) dans une tentative de réponse au paradoxe de Saint-Pétersbourg. Pour ces deux auteurs le joueur refuse de tout miser car il ne peut risquer de perdre tout son argent. Dans cette théorie de l'espérance morale formalisée par Bernoulli, ils introduisent une fonction d'utilité marginale. Cependant ces deux auteurs divergent sur la fonction d'utilité: logarithme naturel pour Bernoulli et racine carrée pour Cramer.

Ces idées sont reprises plus tard par les marginalistes. Puis la théorie de l'espérance morale fut largement débattue dans les années d'après guerre. Des mathématiciens comme Emile Borel jugent cette théorie intéressante sur un point de vue psychologique mais sans intérêt pratique et maintenant 'abandonné' tandis que des économistes s'intéressant à la théorie des jeux développent largement le concept et la fonction utilité.

Le jeu

Soit le jeu de pile ou face suivant : on lance en l'air une pièce de monnaie. Si face apparaît, la banque paie 1 euro au joueur, et on arrête le jeu. Sinon, on relance la pièce. Si face apparaît, la banque paie 2 euros, et on arrête le jeu. Sinon, on relance la pièce. Si face apparaît, la banque paie 4 euros au joueur, et ainsi de suite. Donc, si face apparaît pour la première fois au n-ième lancer, la banque paie 2^{n − 1} euros au joueur. Quelle est la mise initiale pour que le jeu soit équitable, c'est-à-dire pour que ni la banque ni le joueur ne soient avantagés par ce jeu ? Il faut calculer le gain moyen espéré du joueur au cours d'une partie. Pour que le jeu soit équitable la mise initiale du joueur doit être égale à l'espérance du gain.

Si face intervient dès le premier lancer, on gagne 1 euro. La probabilité pour que cela arrive est ½, ce qui donne une probabilité de gain pour ce coup de 1/2× 1=1/2. Si face intervient pour la première fois au 2^e lancer, ce qui se produit avec une probabilité de ½×½=1/4, le gain est de 2 euros, ce qui fait une probabilité de gain de 1/2 euro pour ce coup. Plus généralement, si face apparaît pour la première fois au n-ième lancer, ce qui se produit avec une probabilité de ½ⁿ, le gain est de 2ⁿ euros, d'où une probabilité de gain de 1/2 euro pour ce coup.

L'espérance s'obtient en sommant les probabilités de gain de tous les cas possibles. On somme une infinité de termes qui valent tous 1/2: la somme est donc infinie. À l'exception du quidam qui accepte de miser une infinité d'euros, le jeu est donc défavorable à la banque.

Explication du paradoxe

Pour mettre en évidence l'aspect paradoxal de ce problème, il faut considérer que, quelle que soit la mise initiale, l'espérance mathématique de gain est positive, et même infinie, pour le joueur. Pourtant, tout quidam soi-disant sain d'esprit refusera de jouer à un tel jeu si la mise initiale est trop élevée. Ce comportement d'apparence irrationnelle est à l'origine de la notion d'aversion au risque. Il a été formalisé sous la forme de fonction d'utilité et a donné naissance à la théorie de la décision.

Cependant, face à de tels paradoxes les mathématiciens ne s'appuient pas sur une fonction d'utilité qui expliquerait le comportement humain mais soulignent l'ignorance trop répandue des calculs de probabilités.Emile Borel Il y a, à mon avis, un très grand intérêt scientifique et social à ce que les principes fondamentaux du calcul des probabilités soient admis sans restriction par le plus de personnes possibles. L'aversion au risque ne serait que l'expression d'un refus de participer car le jeu est trop complexe.

Formalisation mathématique

Soit p_k la probabilité que face apparaisse seulement au bout de k lancés, la probabilité d'avoir (k-1 fois) pile puis face,

$p_k=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\dotsb\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}.$

L'espérance de gain,

$E=\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2 + \frac{1}{8}\cdot 4 + \cdots =\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k}\cdot 2^{k-1} =\sum_{k=1}^\infty {1 \over 2}=\infty.$

Montant fini

Si on suppose que la banque ne dispose que d'une somme finie, les calculs sont les mêmes. Par exemple, si on suppose qu'elle ne dispose « que » 2^N euros, la banque ne pourra pas payer plus si face apparaît au bout de N lancés. Pour obtenir l'espérance de gain moyen on somme toutes les probabilités de gain. L'espérance de gain est maintenant finie.

$E \ =\ \sum_{k=1}^N p_k 2^{k-1}+\sum_{k=N+1}^\infty p_k 2^{N-1}\ =\ \sum_{k=1}^N{1 \over 2}+2^{N-1} \left(1-\left(1-{1 \over {2^N}}\right)\right)\ =\ {N+1 \over 2},$

Le jeu est équitable si la mise de départ est égale à N+1/2 euros. Plus il est défavorable au joueur, moins à la banque.

Fonction d'utilité

En introduisant une fonction d'utilité qui ne croit pas trop vite, par exemple u(x) = ln(x), on définit une espérance d'utilité qui est finie,

$EU=\sum_{k=1}^\infty p_k u(2^{k-1}) =\sum_{k=1}^\infty {\ln(2^{k-1}) \over {2^k}}= \ln 2 \sum_{k=1}^\infty \frac{k-1}{2^k} = \ln 2 <\infty.$

Autres règles

Notons que l'espérance de gain est infinie même si les règles du jeu sont légèrement modifiées de façon à apparaître a priori encore plus avantageux à la banque. Soit α,β fixés, le joueur ne reçoit le gain 2^{k − α} que si face apparait au bout de k > = β lancés, si face apparaît avant le joueur ne touche rien.

$E=\sum_{k=\beta}^\infty \frac{1}{2^k}\cdot 2^{k-\alpha} =\sum_{k=\beta}^\infty {1 \over 2^{\alpha}}=\infty.$

Ouvrage

• Émile Borel, Probabilité et certitude , 1950, Que sais-je?