« Théorème de Fueter-Pólya » : différence entre les versions

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Le théorème de Fueter-Pólya, prouvé par Rudolf FueterRudolf Fueter et George Pólya, énonce que les seules fonctions de couplage (en) quadratiques sont les polynômes de Cantor.

Histoire

En 1873, Georg Cantor a montré que polynôme de Cantor^[1]

P(x,y):={\frac {(x+y)^{2}+3x+y}{2}}

constitue un bijection de $\mathbb {N} ^{2}$ dans $\mathbb {N}$ . En intervertissant les deux variables, on obtient également une fonction de couplage.

Fueter a cherché à déterminer s'il existe d'autres polynômes quadratiques vérifiant cette propriété, et a montré qu'il n'en existe pas d'autre si l'on impose $P(0,0)=0$ . Il envoya sa démonstration à Pólya, qui montra que le théorème ne nécessite pas cette dernière contrainte^[2].

Énoncé

Si $P$ est un polynôme réel quadratique à deux variables dont la restriction à $\mathbb {N} ^{2}$ est une bijection de $\mathbb {N} ^{2}$ dans $\mathbb {N}$ , alors il s'agit nécessairement de

P(x,y):={\frac {(x+y)^{2}+3x+y}{2}}

ou de

P(x,y):={\frac {(y+x)^{2}+3y+x}{2}}.

Démonstration

La preuve originale est étonnamment difficile, utilisant le théorème de Lindemann-Weierstrass pour prouver la transcendance de pour un nombre algébrique non nul ^[Quoi ?]^[3]. En 2002, M. A. Vsemirnov publié une démonstration élémentaire de ce résultat^[4].

Conjecture de Fueter-Pólya

Le polynôme de Cantor peut être généralisé en un polynôme de degré n, bijectif de ℕⁿ dans ℕ pour n > 2, somme de coefficients binomiaux^[5] :

P_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{1}+{\binom {x_{1}+x_{2}+1}{2}}+\cdots +{\binom {x_{1}+\cdots +x_{n}+n-1}{n}}

.

La conjecture de Fueter-Pólya énonce que $P_{n}$ est, à permutation près des variables, la seule fonction de couplage polynomiale de degré n qui est une bijection de ℕⁿ dans ℕ^[6].

Références

↑ (de) G. Cantor, « Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre », J. Reine Angew. ^{[réf. incomplète]}.
↑ (de) Rudolf Fueter et Georg Pólya, « Justification Abzählung der Gitterpunkte », Vierteljschr. ^{[réf. incomplète]}.
↑ (en) Craig Smoryński, Logical Number Theory I, Springer-Verlag, 1991 (ISBN 3-540-52236-0), chap. I.4 et I.5 (« The Fueter–Pólya Theorem I/II »).
↑ (en) M. A. Vsemirnov, « Two elementary proofs of the Fueter–Pólya theorem on pairing polynomials » ^{[réf. incomplète]}.
↑ (en) P. Chowla, « On some Polynomials which represent every natural number exactly once », Norske Vid. Selsk. Forh. Trondheim, vol. 34, 1961, p. 8–9.
↑ Craig Smoryński, op. cit., chap. I.4, Conjecture 4.3.

Portail des mathématiques

[1] (de) G. Cantor, « Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre », J. Reine Angew. ^{[réf. incomplète]}.

[2] (de) Rudolf Fueter et Georg Pólya, « Justification Abzählung der Gitterpunkte », Vierteljschr. ^{[réf. incomplète]}.

[3] (en) Craig Smoryński, Logical Number Theory I, Springer-Verlag, 1991 (ISBN 3-540-52236-0), chap. I.4 et I.5 (« The Fueter–Pólya Theorem I/II »).

[4] (en) M. A. Vsemirnov, « Two elementary proofs of the Fueter–Pólya theorem on pairing polynomials » ^{[réf. incomplète]}.

[5] (en) P. Chowla, « On some Polynomials which represent every natural number exactly once », Norske Vid. Selsk. Forh. Trondheim, vol. 34, 1961, p. 8–9.

[6] Craig Smoryński, op. cit., chap. I.4, Conjecture 4.3.

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 {{orphelin|date=novembre 2016}}
-Le '''théorème de Fueter-Pólya''', prouvé par Rudolf Fueter et [[George Pólya]], énonce que les seules [[fonctions d'appariement]] [[quadratique]] sont les polynômes de Cantor.
+Le '''théorème de Fueter-Pólya''', prouvé par {{Lien|Rudolf Fueter}} et [[George Pólya]], énonce que les seules {{Lien|trad=Pairng function|fonctions de couplage}} [[Fonction du second degré|quadratiques]] sont les polynômes de Cantor.
-== Introduction ==
+==Histoire==
-En 1873, [[Georg Cantor]] a montré que  polynôme de Cantor<ref>G. Cantor: ''Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre'', J. Reine Angew. </ref>
+En 1873, [[Georg Cantor]] a montré que  polynôme de Cantor<ref>{{de}} G. Cantor, « Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre », ''J. Reine Angew.'' {{refinc|date=novembre 2016}}.</ref>
-: <math>P(x,y) := \frac{1}{2} ((x+y)^2+3x+y)</math>
+: <math>P(x,y) := \frac{(x+y)^2+3x+y}2</math>
-constitue une application [[Bijection|bijective]] de <math /> dans <math />. En permutant les variables, on obtient également une fonction d'appariement.
+constitue un [[bijection]] de <math>\N^2</math> dans <math>\N</math>. En intervertissant les deux variables, on obtient également une fonction de couplage.
-Fueter a cherché à déterminer s'il existe d'autres polynômes quadratiques vérifiant cette propriété, et a montré qu'il n'en existe pas d'autre si l'on impose sous hypothèse <math />. Il envoya sa démonstration Pólya, qui a montré le théorème ne nécessite pas cette dernière contrainte<ref>Rudolf Fueter, Georg Pólya: ''Justification Abzählung der Gitterpunkte'', Vierteljschr. </ref>.
+Fueter a cherché à déterminer s'il existe d'autres polynômes quadratiques vérifiant cette propriété, et a montré qu'il n'en existe pas d'autre si l'on impose <math>P(0,0)=0</math>. Il envoya sa démonstration à Pólya, qui montra que le théorème ne nécessite pas cette dernière contrainte<ref>{{de}} Rudolf Fueter et Georg Pólya, « Justification Abzählung der Gitterpunkte », ''Vierteljschr.'' {{refinc|date=novembre 2016}}.</ref>.
-=== Enoncé ===
+==Énoncé==
-Si <math /> est un polynôme réel quadratique à deux variables dont la restriction à <math /> est une bijection de <math /> dans <math /> ensuite, il s'agit nécessairement de
+Si <math>P</math> est un polynôme réel quadratique à deux variables dont la restriction à <math>\N^2</math> est une bijection de <math>\N^2</math> dans <math>\N</math>, alors il s'agit nécessairement de
-: <math>P(x,y) := \frac{1}{2} ((x+y)^2+3x+y)</math>
+: <math>P(x,y) :=\frac{(x+y)^2+3x+y}2</math>
-ou
+ou de
-:<math>P(x,y) := \frac{1}{2} ((y+x)^2+3y+x).</math>
+:<math>P(x,y) :=\frac{(y+x)^2+3y+x}2.</math>
-=== Démonstration ===
+==Démonstration==
-L'original de la preuve est particulièrement difficile, et nécessite le [[théorème de Lindemann-Weierstrass]] pour prouver la transcendance de <math /> pour un nombre algébrique non nul <math />.<ref>Craig Smoryński: ''Logical Number Theory I'', Springer-Verlag, 1991, ISBN 3-540-52236-0, Chapitres I. 4 et I. 5: ''The Fueter–Pólya Theorem I/II''</ref>
+La preuve originale est étonnamment difficile, utilisant le [[théorème de Lindemann-Weierstrass]] pour prouver la transcendance {{Quoi|de <math /> pour un nombre algébrique non nul <math />}}<ref>{{en}} Craig Smoryński, ''Logical Number Theory I'', Springer-Verlag, 1991 {{ISBN|3-540-52236-0}}, chap. I.4 et I.5 (« The Fueter–Pólya Theorem I/II »).</ref>.
-En 2002, M. A. Vsemirnov publié une démonstration élémentaire de ce résultat<ref>M. A. Vsemirnov, Two elementary proofs of the Fueter–Pólya theorem on pairing polynomials.</ref>.
+En 2002, M. A. Vsemirnov publié une démonstration élémentaire de ce résultat<ref>{{en}} M. A. Vsemirnov, « Two elementary proofs of the Fueter–Pólya theorem on pairing polynomials » {{refinc|date=novembre 2016}}.</ref>.
-== Conjecture de Fueter–Pólya ==
+== Conjecture de Fueter-Pólya ==
-Le théorème dit que le polynôme de Cantor est la seule fonction d'appariement polynomiale quadratique éplucher polynôme de <math /> et <math />. Le polynôme de Cantor peut être généralisé en un polynôme de plus haut degré , bijectif de de ℕ<sup>''k''</sup> dans ℕ pour ''k'' > 2. La Conjecture de Fueter–Pólya énonce qu'il s'agit des seules fonctions d'appariement polynomiales.
+Le polynôme de Cantor peut être généralisé en un polynôme de degré ''n'', bijectif de ℕ<sup>''n''</sup> dans ℕ pour ''n'' > 2, somme de [[Coefficient binomial|coefficients binomiaux]]<ref>{{en}} P. Chowla, « On some Polynomials which represent every natural number exactly once », ''Norske Vid. Selsk. Forh. Trondheim'', vol. 34, 1961, p. 8–9.</ref> :
+:<math>P_n(x_1,\ldots,x_n) = x_1 + \binom{x_1+x_2+1}{2} + \cdots +\binom{x_1+\cdots +x_n+n-1}n</math>.
+La [[conjecture]] de Fueter-Pólya énonce que <math>P_n</math> est, à permutation près des variables, la seule fonction de couplage polynomiale de degré ''n'' qui est une bijection de ℕ<sup>''n''</sup> dans ℕ<ref>Craig Smoryński, ''[[op. cit.]]'', chap. I.4, Conjecture 4.3.</ref>.
-=== En dimensions supérieures ===
-La généralisation du polynôme de Cantor en dimensions supérieures est donnée par :<ref>P. Chowla: ''On some Polynomials which represent every natural number exactly once'', Norske Vid. Selsk. Forh. Trondheim (1961), volume 34, pages 8–9</ref>
-:<math>P_n(x_1,\ldots,x_n) = x_1 + \binom{x_1+x_2+1}{2} + \cdots +\binom{x_1+\cdots +x_n+n-1}{n}</math>
-La somme de ces [[Coefficient binomial|coefficients binomiaux]] est un polynôme de degré <math /> à <math /> variables. Savoir si chaque polynôme de degré <math /> qui est une bijection <math /> se présente comme une permutation des variables du polynôme <math /><ref>Craig Smoryński: ''Logical Number Theory I'', Springer-Verlag 1991, ISBN 3-540-52236-0, Chapter I.4, Conjecture 4.3</ref>.
 == Références ==
 <references />
-{{Portail|Mathématiques}}
+{{Portail|mathématiques}}
 [[Catégorie:Théorème de mathématiques]]