Équation aux dérivées partielles elliptique
En mathématiques, une équation aux dérivées partielles linéaire du second ordre, dont la forme générale est donnée par :
est dite elliptique en un point donné x de l'ouvert U si la matrice carrée symétrique des coefficients du second ordre admet des valeurs propres non nulles et de même signe[1].
Exemples
[modifier | modifier le code]En physique, les équations de Laplace, et de Poisson pour le potentiel électrostatique respectivement dans le vide et pour la distribution de charges sont de type elliptique. En effet la matrice A est ici la matrice unité, et donc ses valeurs propres sont toutes égales à 1, donc non nulles et de même signe.
En revanche pour l'équation d'onde scalaire la matrice A est donnée par , donc elle possède des valeurs propres non nulles, 1 et -c2, mais de signe opposé. Il ne s'agit donc pas d'une équation aux dérivées partielles elliptique, mais d'une équation aux dérivées partielles hyperbolique.
Notes et références
[modifier | modifier le code]Bibliographie
[modifier | modifier le code]- H. Reinhard, Équations aux dérivées partielles, introduction, Paris, Dunod Université, coll. « Sciences Sup » (réimpr. 2004) (1re éd. 1991), 291 p., broché (ISBN 978-2100484225).