Utilisatrice:Kvardek du/Mathématiques tropicales
Les mathématiques tropicales sont une branche des mathématiques correspondant à l'étude d'un système modifié grâce à la redéfinition de l'addition et de la multiplication (et conséquemment d'autres opérations). Les mathématiques tropicales sont généralement définies grâce au minimum et à l'addition[1], mais le terme est parfois utilisé pour désigner l'algèbre max-plus, définie grâce au maximum et à l'addition[2].
Les mathématiques tropicales furent dénommées ainsi en l'honneur de leur inventeur brésilien, Imre Simon.
Algèbre max-plus
[modifier | modifier le code]Opérateurs mathématiques
[modifier | modifier le code]Définitions des opérateurs
[modifier | modifier le code]- On définit l'addition tropicale telle que :
.
Le résultat de l'addition tropicale de deux nombres est donc le maximum de ceux-ci. Ainsi, .
- On définit la multiplication tropicale (ou produit tropical) (ou ) telle que :
.
Le résultat de la multiplication tropicale de deux nombres est donc la somme usuelle de ceux-ci. Ainsi, .
Propriétés
[modifier | modifier le code]Dans | Addition tropicale | Addition | Multiplication tropicale (mêmes propriétés que l'addition usuelle) |
Multiplication |
---|---|---|---|---|
Commutativité | Oui
Exemple : et |
Oui a + b = b + a Exemple : 2 + 3 = 5 et 3 + 2 = 5 |
Oui
Exemple : et |
Oui a x b = b x a Exemple : 2 x 3 = 6 et 3 x 2 = 6 |
Associativité | Oui
Exemple : Démonstration
Soient trois réels a, b et c tels que . Alors donc . De même, donc . De plus, car . On a prouvé que . |
Oui (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c Exemple: |
Oui
Exemple : |
Oui (a x b) x c = a x (b x c) = a x b x c Exemple: |
Élément neutre | Pas d'élément neutre dans
Pour disposer d'un élément neutre, on travaille dans . En effet, . |
0
En effet, a + 0 = a |
0
En effet, |
1
En effet, a x 1 = a |
Élément symétrique de a | Pas d'élément symétrique. | -a
En effet, a + (-a) = 0. |
-a
En effet, . |
En effet, . |
Élément absorbant | Pas d'élément absorbant dans
Pour disposer d'un élément absorbant, on travaille dans . En effet, . |
Pas d'élément absorbant. | Pas d'élément absorbant. | 0
En effet, . |
Titre ligne 5 | donnée L5-A | donnée L5-B | donnée L5-C | donnée L5-D |
Dans | Addition tropicale | Addition | Multiplication tropicale (mêmes propriétés que l'addition usuelle) |
Multiplication |
Opérateur découlant des précédents
[modifier | modifier le code]La puissance tropicale, que l'on notera , avec a un réel et b un entier naturel, correspond à la multiplication usuelle.
En effet,
.
Équations
[modifier | modifier le code]Équations à une inconnue
[modifier | modifier le code]Du premier degré
[modifier | modifier le code]- Avec des produits tropicaux
Les équations à une inconnue comprenant uniquement des produits tropicaux, de type (avec a, b et c trois réels et a l'inconnue) se résolvent en passant par les mathématiques usuelles. .
Exemple :
- Avec des additions tropicales
Les équations à une inconnue comprenant des additions tropicales, du type (avec a, b et c trois réels et a l'inconnue) ne peuvent être résolues que si , et alors a = c. En effet, c étant le maximum de a et b, il est égal à l'un des deux, ce qui ne permet pas de retrouver l'autre. On peut toutefois déduire l'inéquation .
Exemples :
On ne peut connaître précisément a mais on sait cependant que .
- Résolution
Soit une équation du type (avec a, b,c et x quatre réels et x l'inconnue).
Cela correspond dans les mathématiques usuelles à . Il y a alors deux possibilités:
- b = c : b est alors le maximum et on ne peut que déduire l'inéquation soit .
- b < c : a + x est alors le maximum, on en déduit a + x = c soit x = c - a.
Du deuxième degré
[modifier | modifier le code]- Résolution
Soit une équation du type (avec a, b,c, d et x cinq réels et x l'inconnue).
Cela correspond dans les mathématiques usuelles à
Il y a alors plusieurs possibilités :
- Le maximum est alors
- Le maximum est alors
- Le maximum est c - d alors on ne connait pas x, on sait seulement que et
Géométrie
[modifier | modifier le code]À partir de ces opérateurs, il est ensuite possible de représenter l'équivalent tropical de diverses figures géométriques.
Droite tropicale
[modifier | modifier le code]L'équation d'une droite du plan dans les mathématiques usuelles est de la forme (avec a, b et c trois réels tels que l'un des deux premiers ne soit pas 0) :
.
On adapte cette équation en polynôme tropical car on ne peut résoudre ce type d'équation. Cela donne :
, que l'on réadapte en mathématiques usuelles :
max (a + x ; b + y ; c).
Notes et références
[modifier | modifier le code]- Définition des mathématiques tropicales par leur inventeur Imre Simon, en ligne sur Scientific Commons
- Introduction à la géométrie tropicale, Ilia Itenberg, p. 2, Disponible en ligne.