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En théorie des représentations, le Yangien (anglais : Yangian) est un type de groupe quantique (donc une algèbre de Hopf).

Historiquement, le Yangien a d'abord été introduit en physique dans les travaux de Ludvig Fadeev de l'Université d'État de Saint-Pétersbourg en à la fin des années 1970. Sa construction est, à l'origine, issue de la méthode de diffusion inverse quantique (anglais : quantum inverse scattering method (en))^[1].

En 1985, le mathématicien Vladimir Drinfeld propose une autre construction du Yangian à partir d'algèbres de Kac-Moody. C'est dans son article fondateur^[2] qu'il donne son nom au Yangian, en l'honneur du physicien Chen Ning Yang.

Le Yangian a par exemple été utilisé dans l'optique de fournir de solutions rationnelles de l'équation de Yang-Baxter.

Construction[modifier | modifier le code]

La présentation RTT[modifier | modifier le code]

La présentation RTT est, historiquement, la première a avoir été introduite dans le cas particulier de l'algèbre de Lie ${\mathfrak {gl}}_{n}$ .

À un groupe quantique est associé une R-matrice (c'est-à-dire une solution de l'équation de Yang-Baxter). Dans le cas de ${\mathfrak {gl}}_{n}$ , cette R-matrice, appelée Yang R-matrice, est simple :

R(u)=1\otimes 1\otimes 1-P\otimes u^{-1}

où $P$ est l'opérateur de twist de ( $P(u\otimes v)=v\otimes u$

La J-présentation[modifier | modifier le code]

La J-présentation a été introduite en 1985 par Drinfeld. Son idée a été de construire, à partir d'une algèbre de Lie ${\mathfrak {g}}$ , de construire une algèbre de Hopf $Y({\mathfrak {g}})$ comme une déformation de l'algèbre enveloppante de l'algèbre courante ${\mathfrak {g}}[u]$ (algèbre des polynômes à coefficients dans ${\mathfrak {g}}$ ).

L'algèbre est définie par générateurs et relations :

Générateurs : les éléments $x\in {\mathfrak {g}}$ et des éléments notés $J(x)$ pour $x\in {\mathfrak {g}}$ ;
Relations :

La présentation courante[modifier | modifier le code]

La présentation courante a été introduite en 1988 par Drinfeld. L'idée est toujours de déformer l'algèbre courante, mais de manière à ce que l'idée d'espace de polynômes soit explicite dans l'expression des générateurs.

Structure d'algèbre de Hopf[modifier | modifier le code]

Représentations[modifier | modifier le code]

Théorie du plus haut l-poids[modifier | modifier le code]

Classification des représentations irréductibles de dimension finie[modifier | modifier le code]

↑ Alexander Molev, Yangians and classical Lie algebras, American Mathematical Society, coll. « Mathematical surveys and monographs », 2007 (ISBN 978-0-8218-4374-1)
↑ (ru) Vladimir Guerchonovitch Drinfeld https://fr.wikipedia.org/wiki/Vladimir_Drinfeld, « Hopf algebras and the quantum Yang-Baxter equation », Soviet mathematics. Doklady, vol. 32,‎ 1985, p. 254-258

[1] Alexander Molev, Yangians and classical Lie algebras, American Mathematical Society, coll. « Mathematical surveys and monographs », 2007 (ISBN 978-0-8218-4374-1)

[2] (ru) Vladimir Guerchonovitch Drinfeld https://fr.wikipedia.org/wiki/Vladimir_Drinfeld, « Hopf algebras and the quantum Yang-Baxter equation », Soviet mathematics. Doklady, vol. 32,‎ 1985, p. 254-258

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