Utilisateur:Malosse/Traînée induite

a traînée induite, souvent notée Ri, est une force de résistance à l'avancement induite par la portance et qui dépend de certaines caractéristiques de l'aile, notamment de son allongement et de la distribution de la portance en envergure.

Elle se distingue des traînées dites « parasites » : de frottement, de séparation, et d'onde.

Allongement

L'allongement effectif utilisé pour le calcul peut être supérieur à l'allongement géométrique (cloison en bout d'aile, ailette marginale ou winglet)

Distribution de la portance

La distribution de portance optimale (celle qui minimise la traînée induite) est elliptique. La distribution effective dépend :

• de la forme en plan de l'aile,
• de sa flèche (la flèche arrière charge davantage l'extrémité de l'aile),
• de son vrillage (qui modifie la répartition de la portance par rapport à la forme en plan),
• des modifications locales de la portance :
  • interférence du fuselage (diminution locale de la portance dans l'axe du fuselage, pics de portance aux emplantures d'aile),
  • par le déploiement de volets hypersustentateurs ou d'aérofreins
  • souffle d'hélices augmentant la portance (moteurs montés sur l'aile).

Calcul de la résistance induite

• Calcul de la résistance induite Ri

Ri = q . S . Ci

q : pression dynamique = 1/2 . ρ . V²

S : surface alaire

ρ : masse volumique du fluide, V = vitesse en m/s

Ci : coefficient de traînée induite

• En application de la théorie des profils minces, la traînée induite s'exprime comme suit :

$C_{i}={C_{z}^{2} \over \pi \lambda e}$.

Cz : coefficient de portance de l'aile

π (pi) : 3.1416

λ : allongement. Par définition, λ=b²/S où b est l'envergure de l'aile.

e : coefficient d'Oswald (inférieur à 1) qui dépend de la distribution de portance en envergure.

e pourrait être égal à 1 pour une distribution de portance "idéale" (elliptique). En pratique e est de l'ordre de 0.75 à 0.85.

• Remarque sur la relation cachée entre Cz et λ:

Pour qu'un avion puisse voler, la portance Fz doit compenser le poids de l'avion
On en déduit le Cz

Cz = Fz / (q . S)

il ressort (en remplaçant Cz dans la formule précédente):

Ci = (Fz / (q . S))²/ (π . λ . e)

et

Ri = q . S . (Fz / (q . S))² / (π . λ . e)

Ri = Fz² / (q . S . π . λ . e)

comme λ = b² / S
on a au final :

Ri = (Fz / b)² / (q . π . e)

Avec q = 1/2 . ρ . V² on obtient

$R_{i}=2{F_{z}^{2} \over b^{2}\rho V^{2}\pi e}$

La traînée induite est proportionnelle au carré de la portance et inversement proportionnelle au carré de l'envergure et au carré de la vitesse.
Pour réduire cette traînée, on peut :

réduire le poids,

augmenter l'envergure (et augmenter l'allongement à surface constante),

augmenter la vitesse.

Un guide complet de calcul de ces formules est donné grâce à la Théorie des profils minces.

Valeur de la traînée induite

• La traînée induite est nulle :

si la portance est nulle

si l'allongement est infini

• La traînée induite est moindre :

si l'allongement est grand et si le Cz est petit (Cz 0.1 à 0.3, avion rapide)

• La traînée induite est importante :

si l'allongement est petit et le Cz fort (aile delta au décollage).

Relation avec la traînée parasite

Courbes montrant les trainée induite, parasite ainsi que la trainée combinée par rapport à la vitesse de l'air

La traînée parasite causée par la résistance de l'air peut s'écrire sous la forme

$R_{p}=qSC_{x}$

où $C_{x}$ est le coefficient de traînée horizontale. On rappelle que S = b² / λ. On obtient donc:

$R_{p}={1 \over 2}\rho V^{2}SC_{x}={1 \over 2}{\rho b^{2}V^{2}C_{x} \over \lambda }$

Lorsqu'un avion ou planeur est en vol, la traînée induite $R_{i}(V)$ et la traînée parasite $R_{p}(V)$ s'ajoutent et constituent la traînée totale R(V). La finesse d'un planeur sera optimale lorsque la traînée totale R(V) est minimale. On résout donc l'équation

${dR(V) \over dV}=0$

On définit $\alpha ={2F_{z}^{2} \over b^{2}\rho \pi e}$ et $\beta ={1 \over 2}{\rho b^{2}C_{x} \over \lambda }$. On peut écrire symboliquement :

$R_{i}(V)={\alpha \over V^{2}}\qquad R_{p}(V)=\beta V^{2}$

Après avoir calculé la dérivée de R(V), on résout donc:

$-2{\alpha \over V^{3}}+2\beta V=0$

Et donc en multipliant la relation ci-dessus par V, on obtient :

${\alpha \over V^{2}}=\beta V^{2}$

ce qui signifie que la traînée induite est égale à la traînée parasite.

Conséquences pour le vol à voile

Vitesse optimale

Un planeur n'a pas de moteur; il est « propulsé » par ses ailessous l'effet de la gravité. Soit f(V) la finesse du planeur défini par le rapport de la vitesse horizontale à la vitesse verticale. Soit $\theta$ l'angle de plané. Comme $\theta$ est petit, on peut écrire que $\theta \approx \sin \theta$ et donc que :

$\theta \approx {1 \over f(V)}$

Quand le planeur est en équilibre, en mouvement non accéléré, on a :

$R(V)=\sin \theta F_{z}\approx \theta F_{z}$

Pour minimiser $\theta$ on va minimiser R(V). Par conséquent, le planeur atteindra sa finesse maximale en air calme lorsque la traînée induite est égale à la traînée parasite. Si l'on développe l'équation ci-dessus, on obtient :

$V=\left({\alpha \over \beta }\right)^{1 \over 4}={{\sqrt {2}} \over (\pi e)^{1 \over 4}b}\times {\sqrt {F_{z} \over \rho }}\times \left({\lambda \over C_{x}}\right)^{1 \over 4}$

Par conséquent, plus le planeur sera lourd, plus la vitesse à laquelle la finesse maximale sera atteinte sera élevée. Ceci est la raison pour laquelle les pilotes vont augmenter la masse et donc le poids de leur planeurs $F_{z}$ en ajoutant de l'eau dans les ailes dans des compartiments spécialement conçus à cet effet.

Application à des modèles réduits

Le poids du planeur est $F_{z}=mg$. On a donc :

$C_{x}={4m^{2}g^{2}\lambda \over \pi eV^{4}b^{4}\rho ^{2}}$

On considère maintenant un modèle réduit du planeur ayant le même coefficient de traînée une envergure b et une masse m et le même allongement. On a alors :

${4m^{2}g^{2}\lambda \over \pi eV^{4}b^{4}\rho ^{2}}=C_{x}={4m'^{2}g^{2}\lambda \over \pi eV'^{4}b'^{4}\rho ^{2}}$

Donc,

${m^{2} \over b^{4}V^{4}}={m'^{2} \over b'^{4}V'^{4}}$

Donc,

$\left({V' \over V}\right)^{4}=\left({m' \over m}\right)^{2}\times \left({b \over b'}\right)^{4}$

et donc:

${V' \over V}={\sqrt {m' \over m}}\times {b \over b'}$.

On considère un planeur de compétition d'envergure 18 m, de finesse 50 et de masse 350 kg, On considère maintenant un modèle réduit ayant le même coefficient de traînée d'envergure 3 m et de masse 15 kg. On obtient alors :

${V' \over V} = \sqrt{15 \over 350} \times {18 \over 3} \approx 1.25$.

Si la finesse maximum est atteinte à 60 nœuds pour le planeur de compétition, la finesse maximum sera atteinte à 60 × 1.25 = 75 nœuds pour le modèle réduit.

Finesse maximale

De plus, la finesse maximale du planeur reste inchangée lorsqu'on augmente sa masse et donc son poids. Dans ce qui suit, on démontre cette assertion qui ne semble pas évidente. On rappelle que lorsque la planeur atteint sa finesse maximale la traînée induite est égale à la traînée parasite. On obtient donc :

$\theta ={R_{i}(V)+R_{p}(V) \over F_{z}}={2R_{p}(V) \over F_{z}}={\rho C_{x}b^{2}V^{2} \over \lambda F_{z}}={\rho C_{x}b^{2} \over \lambda F_{z}}\times \left({{\sqrt {2}} \over (\pi e)^{1 \over 4}b}\times {\sqrt {F_{z} \over \rho }}\times \left({\lambda \over C_{x}}\right)^{1 \over 4}\right)^{2}$

Et donc :

$\theta =2{\sqrt {C_{x} \over \lambda \pi e}}$

Pour une aile rectangulaire de corde c et d'envergure b, on obtient $\lambda =b^{2}/bc=b/c$ et donc :

${1 \over \theta }={1 \over 2}{\sqrt {b\pi e \over cC_{x}}}$

Comme annoncé ci-dessus, la finesse maximale ne dépend pas de la masse du planeur et ni de la densité de l'air environnant. Ceci justifie a posteriori que la vitesse de chute du planeur augmentera en même temps que sa masse. Donc, lorsque les conditions aérologiques sont moins favorables, il est préférable de minimiser la masse du planeur pour minimiser la vitesse de chute et donc de ne pas ajouter d'eau dans les ailes ou, si l'on est déjà en vol, de vidanger les ailes.

De plus, plus λ est grand, plus $\theta$ sera petit. Donc, les planeurs ayant des grandes ailes, pour une surface ailaire équivalente, aura un plus petit angle de plané et donc une plus grande finesse. Ceci est la raison pour laquelle certains planeurs de compétition en classe libre peuvent avoir jusqu'à 30 mètres d'envergure.

De plus, d'une part on a :

$\theta ={R_{i}(V)+R_{p}(V) \over F_{z}}={2R_{i}(V) \over F_{z}}={2\alpha \over V^{2}F_{z}}={4F_{z} \over b^{2}\rho \pi eV^{2}}$

D'autre part pour une aile rectangulaire, $F_{z}=C_{z}\rho V^{2}S=C_{z}\rho V^{2}bc$

Donc,

$\theta ={4C_{z}\rho V^{2}bc \over b^{2}\rho \pi eV^{2}}={4C_{z}c \over b\pi e}$

La finesse maximale devient donc :

${1 \over \theta }={b \over c}\times {\pi e \over 4C_{z}}$

Exemple

On considère le planeur LS3. Son allongement est 21.4, le coefficient de portance est $C_{z}=0.35$ et on suppose que e = 0.85. On obtient alors :

${1 \over \theta }=21.4\times {\pi \times 0.85 \over 4\times 0.35}=41$

Ce chiffre est la finesse annoncée par le fabricant.

Polaire des vitesses

On évalue maintenant la vitesse de chute en fonction de la vitesse horizontale pour n'importe quelle vitesse. On a:

$\theta ={R_{i}(V)+R_{p}(V) \over F_{z}}={2F_{z}^{2} \over b^{2}\rho V^{2}\pi e}+{\rho C_{x}b^{2}V^{2} \over 2\lambda F_{z}}$

À finesse maximum, on a $d\theta /dV=0$.

On calcule la dérivée seconde et l'on obtient :

${d^{2}\theta \over dV^{2}}={12F_{z}^{2} \over b^{2}\rho V^{4}\pi e}+{\rho C_{x}b^{2} \over \lambda F_{z}}$

Lorsque V devient grand, l'on a:

${d^{2}\theta \over dV^{2}}\simeq {\rho C_{x}b^{2} \over \lambda F_{z}}$

Par conséquent, on peut considérer que pour V grand, la finesse décroît comme le carré de la vitesse et donc la vitesse de chute croît comme le cube de la vitesse horizontale.

On considère maintenant la dérivée seconde de $\theta$ au voisinage de de la finesse maximum. On a:

$\theta ={R_{i}(V)+R_{p}(V) \over F_{z}}={\alpha /V^{2}+\beta V^{2} \over F_{z}}$

Donc,

${d^{2}\theta \over dV^{2}}={6\alpha /V^{4}+2\beta \over F_{z}}$

On rappelle que $V=\left({\alpha \over \beta }\right)^{1 \over 4}$ et donc :

${d^{2}\theta \over dV^{2}}={6\alpha /(\alpha /\beta )+2\beta \over F_{z}}={8\beta \over F_{z}}$

En substituant β, l'on obtient:

${d^{2}\theta \over dV^{2}}={4\rho b^{2}C_{x} \over \lambda F_{z}}={4\rho SC_{x} \over F_{z}}$

$F_{z}$ est le poids du planeur en vol horizontal. Soit $C={F_{z} \over S}$ la charge ailaire. On a alors:

${d^{2}\theta \over dV^{2}}={4\rho C_{x} \over C}$

Donc plus le coefficient de traînée parasite sera petit et plus le coefficient de charge ailaire sera grand, plus sera petite la variation de l'angle avec la finesse.

Articles connexes

• Traînée
• Coefficient de portance
• Aérodynamique
• hydrodynamique.