Utilisateur:Ivan Kaliayev/Brouillon/Vecteur de Witt

En mathématiques, un vecteur de Witt est une suite infinie d'éléments d'un anneau commutatif. Ernst Witt a montré comment munir l'ensemble des vecteurs de Witt d'une structure d'anneau, de telle façon que l'anneau des vecteurs de Witt sur le corps fini de cardinal p soit l'anneau des entiers p-adiques.

Intérêt

Tout entier p-adique peut s'écrire comme somme d'une série entière de la forme a₀ + a₁p¹ + a₂p² + ... dont les coefficients a sont généralement pris dans {0, 1, 2, ..., p − 1}. Cet ensemble de représentants n'est pas le seul choix possible, et Teichmüller proposa un autre ensemble constitué de 0 et des (p − 1)èmes racines de l'unité, c'est-à-dire des p racines de x^p − x = 0.

Ces représentants de Teichmüller peuvent être identifiés aux éléments du corps fini F_p de cardinal p (en considérant les restes modulo p), ce qui permet d’identifier l'ensemble des entiers p-adiques et celui des suites infinies d'éléments de F_p.

Il s'agit maintenant, étant donné deux suites d'éléments de F_p, identifiées à des entiers p-adiques selon la représentation de Teichmüller, de pouvoir explicitement décrire leur somme et leur produit comme entiers p-adiques. Witt résolut ce problème en utilisant les vecteurs de Witt.

Construction des anneaux de Witt

Soit p un nombre premier fixé. Un vecteur de Witt sur un anneau commutatif A est une suite (X₀, X₁,X₂,...) d'éléments de A. On définit les polynômes de Witt W_i par

W_{0}=X_{0}\,

W_{1}=X_{0}^{p}+pX_{1}

W_{2}=X_{0}^{p^{2}}+pX_{1}^{p}+p^{2}X_{2}

et le terme général

W_{n}=\sum _{i}p^{i}X_{i}^{p^{n-i}}.

Witt montre alors qu'il n'existe qu'une façon de munir l'ensemble des vecteurs de Witt sur A d'une structure d'anneau (anneau des vecteurs de Witt) telle que

la somme et le produit sont donnés par des polynômes à coefficients entiers indépendants de A
tout polynôme de Witt réalise un morphisme d'anneaux de l'anneau des vecteurs de Witt sur A vers A.

On peut expliciter les premiers polynômes donnant la somme et le produit des vecteurs de Witt, par exemple :

(X₀, X₁,...) + (Y₀, Y₁,...) = (X₀+Y₀, X₁ + Y₁ + (X₀^p + Y₀^p − (X₀ + Y₀)^p)/p, ...)

(X₀, X₁,...) × (Y₀, Y₁,...) = (X₀Y₀, X₀^pY₁ + Y₀^pX₁ + p X₁Y₁, ...)

Exemples

L'anneau de Witt de tout anneau commutatif A dans lequel p est inversible est isomorphe à A^N (le produit d'une infinité dénombrable de copies de R). En fait, les polynômes de Witt fournissent toujours un homomorphisme de l'anneau des vecteurs de Witt sur R^N, et si p est inversible il s'agit d'un isomorphisme.
L'anneau de Witt pour le corps fini de cardinal p est l'anneau des entiers p-adiques.
L'anneau de Witt pour un corps fini de cardinal pⁿ est l' extension non ramifiée de degré n de l'anneau des entiers p-adiques.

Vecteurs de Witt universels

Les polynômes de Witt pour différents entiers premiers p sont des cas particuliers de polynômes de Witt universels, qui peuvent être employés pour construire un anneau de Witt universel (indépendant du choix de p). On définit les polynômes de Witt universels W_n pour n≥1 par

W_{1}=X_{1}\,

W_{2}=X_{1}^{2}+2X_{2}

W_{3}=X_{1}^{3}+3X_{3}

W_{4}=X_{1}^{4}+2X_{2}^{2}+4X_{4}

et le terme général

W_{n}=\sum _{d|n}dX_{d}^{n/d}.

On peut à l'aide de ces polynômes définir l'anneau des vecteurs de Witt universels sur tout anneau commutatif A d'une façon similaire à ce qui a été fait ci-dessus (de telle sorte que les polynômes de Witt universels définissent tous un homomorphisme sur l'anneau A).

Texte à traduire

Portion de texte anglais à traduire en français

Texte anglais à traduire :

Ring schemes

The map taking a commutative ring R to the ring of Witt vectors over R (for a fixed prime p) is a functor from commutative rings to commutative rings, and is also representable, so it can be thought of as a ring scheme, called the Witt scheme, over Spec(Z). The Witt scheme can be canonically identified with the spectrum of the ring of symmetric functions.

Similarly the rings of truncated Witt vectors, and the rings of universal Witt vectors, correspond to ring schemes, called the truncated Witt schemes and the universal Witt scheme .

Moreover, the functor taking the commutative ring R to the set Rⁿ is represented by the affine space $\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}$ , and the ring structure on Rⁿ makes $\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}$ into a ring scheme denoted ${\underline {\mathcal {O}}}^{n}$ . From the construction of truncated Witt vectors it follows that their associated ring scheme $\mathbb {W} _{n}$ is the scheme $\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}$ with the unique ring structure such that the morphism $\mathbb {W} _{n}\rightarrow {\underline {\mathcal {O}}}^{n}$ given by the Witt polynomials is a morphism of ring schemes.

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Groupes algébriques abéliens unipotents

Sur un corps algébriquement clos de caractéristique nulle, tout groupe algébrique abélien connecté unipotent est isomorphe à un produit de copies du groupe additif G_a. La propriété analogue pour des corps de caractéristique p est fausse : les schémas de Witt tronqués constituent des contrexemples. (On leur donne une structure de groupes algébriques en omettant la multiplication, et en conservant simplement leur structure additive.)

Texte à traduire

Portion de texte anglais à traduire en français

Texte anglais à traduire :
However these are essentially the only counterexamples: over an algebraically closed field of characteristic p, any unipotent abelian connected algebraic group is isogenous to a product of truncated Witt group schemes.

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Voir aussi

Références

(en) « Ivan Kaliayev/Brouillon/Vecteur de Witt », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
(en)« {{{1}}} »
« {{{1}}} »
« {{{1}}} », section II.6
« {{{1}}} »
« {{{1}}} »
Greenberg, M. J. (1969), Lectures on Forms in Many Variables, New York and Amsterdam, Benjamin, MR 241358, ASIN: B0006BX17M

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Witt vector » (voir la liste des auteurs).

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