Utilisateur:Astatide/Diagramme de Kutzbach

Le diagramme de Kutzbach est une méthode graphique permettant de déterminer la vitesses et le sens de rotation de toutes les roues dentées d'une transmission à engrenages. Inversement, les dimensions des roues peuvent être déterminées pour un rapport de transmission donné.

Cette méthode a été développée par Karl Kutzbach, professeur à l'université technique de Dresde. Elle est particulièrement utile pour traiter le cas des trains épicycloïdaux, plus complexes que les trains d'engrenages à axes fixes.

Diagrammes de Kutzbach pour divers modes d'utilisation d'un train épicycloïdal simple

Méthode

La distance r à l'axe central de l'engrenage est représentée sur un axe (vertical dans la figure ci-dessus) et la vitesse u des roues dentées sur l'autre. Pour chaque roue, la courbe liant r et u est une droite affine. En effet, u est la somme d'une vitesse de translation globale de la pièce et d'une vitesse relative due à la rotation de la roue sur elle-même, qui est proportionnelle à la distance par rapport à l'axe de la roue en question. Ainsi, la pente d'une de ces droites correspond à la vitesse algébrique de rotation de la roue dont elle décrit le mouvement.

• Les droites des roues coaxiales à l'axe principal passent par l'origine : à r = 0, on a u = 0.
• Plus généralement, si l'axe d'une roue est fixé à une autre, leurs droites se coupent en la valeur correspondante de r, mais u n'est pas nécessairement nul car il peut y avoir un mouvement de translation de l'axe.
• L'engrènement de deux roues correspond à l'intersection de leurs droites. En effet, la condition de roulement sans glissement au point de contact assure l'égalité des vitesses des deux roues dentées en ce point.

Cette partie du diagramme de Kutzbach est appelée diagramme des vitesses.

Les rapports de vitesse angulaire sont représentés sur une droite parallèle à l'axe des vitesses. Celle-ci est coupée par les droites des roues dentées, qui doivent toutes partir d'un même point. Pour les roues dont l'axe n'est pas l'axe central, on trace une parallèle à travers l'intersection commune des autres droites (en pointillés pour le satellite dans le premier cas de la figure par exemple). Cette partie du diagramme est appelée diagramme des vitesses de rotation.

Étude d'un train d'engrenages donné

Dans le premier cas de la figure ci-dessus, le porte-satellites est maintenu fixé. Le mécanisme devient ainsi un train d'engrenages à axes fixes. Comme le porte-satellites est au repos, sa droite coïncide avec l'axe r. Supposons que l'on met en rotation le planétaire (en bleu). On représente sa vitesse de rotation par la droite bleue de pente arbitraire. Le satellite (en rouge) engrène avec le planétaire et coupe donc sa droite au point correspondant sur l'axe r. De plus, son axe est fixé au porte-satellites immobile, ce qui fournit un second point et permet de déterminer sa droite. En prolongeant cette dernière jusqu'au rayon primitif de la couronne avec lequel le planétaire engrène, on obtient un point de sa droite. On obtient la droite entière en utilisant le fait qu'elle passe par l'origine, l'axe de la couronne étant l'axe central. Ainsi, on a déterminé les vitesses de rotation de toutes les roues dentées du mécanisme. Dans le cas où l'on mettrait en rotation la couronne ou le satellite, on procède de même en traçant d'abord la droite de la roue dont on connaît le mouvement.

L'avantage particulier du diagramme de Kutzbach devient apparent lorsque le porte-satellites d'un train épicycloïdal est en rotation. Dans le deuxième cas de la figure ci-dessus, on fixe la couronne et on entraîne le planétaire ou bien le porte-satellites. Bien que l'axe de rotation du satellite soit mobile, la construction du schéma se fait de la même manière que dans le premier cas.

On peut aussi représenter les rapports lorsque toutes les pièces sont en mouvement. Il est alors nécessaire de commander deux roues pour fixer la vitesse de la troisième. Dans le troisième cas de la figure ci-dessus, l'engrenage planétaire et le porte-satellites sont entraînés, par exemple, et la rotation de la couronne dentée en résulte. En principe, le diagramme est identique si la roue solaire et la couronne dentée ou la bande et la couronne dentée sont commandées.

Dimensionnement d'un engrenage

On souhaite déterminer pour une configuration et un rapport de réduction donné les rayons primitifs des roues dentées et les distances entre les axes qui en résultent.

On commence par tracer le diagramme des vitesses de rotation avec les vitesses angulaires souhaitées. On peut ensuite construire le diagramme des vitesses selon les mêmes principes que précédemment. Certains paramètres géométriques doivent être spécifiés, tous les autres se déduisent des paramètres du problème et peuvent être lus sur le diagramme des vitesses complet.

Supposons par exemple que l'on souhaite réaliser dans premier cas de la figure un certain rapport entre la vitesse du planétaire et celle de la couronne. On peut construire les droites du planétaire, de la couronne et du porte-satellite car les deux premiers sont sur l'axe central et le troisième est immobile. Si le rayon primitif du planétaire et la position de l'axe du satellite sur le porte-satellites sont donnés, on obtient deux points de la droite du satellite que l'on peut prolonger pour compléter le diagramme. On obtient ainsi le rayon primitif du satellite et de la couronne.

Notes et références

• (de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Kutzbachplan » (voir la liste des auteurs).