Théorème de Kurosh sur les sous-groupes

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En mathématiques et plus particulièrement en théorie des groupes, le théorème de Kurosh sur les sous-groupes d'un produit libre décrit la structure algébrique des sous-groupes d'un produit libre de groupes. Le théorème est dû au mathématicien soviétique Aleksandr Kurosh qui l'a publié en 1934[1]. De manière informelle, le théorème dit que tout sous-groupe d'un produit libre de groupes est lui-même le produit libre d'un groupe libre et de ses intersections avec les conjugués des facteurs du produit libre de départ.

Historique et généralisations[modifier | modifier le code]

Après la preuve originale de Kurosh de 1934, de nombreuses autres démonstrations ont été données, notamment celles de Harold W. Kuhn en 1952[2], de Saunders Mac Lane en 1958[3] et d'autres encore. Le théorème a également été généralisé pour décrire les sous-groupes de produits amalgamés libres et d''extensions HNN[4],[5]. D'autres généralisations incluent le cas de sous-groupes de produits profinis libres[6] et une version du théorème de Kurosh pour les groupes topologiques[7].

Dans un cadre contemporain, le théorème de Kurosh est un corollaire immédiat des résultats structurels de base de la théorie de Bass-Serre (en) sur les actions de groupes sur les arbres[8].

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit le produit libre de groupes pour et soit un sous-groupe de . Alors

,

où est un sous-groupe libre de , est un ensemble d'indices, et pour chaque , et est un sous-groupe d'un .

Si de plus l'indice est fini et égal à alors le groupe libre est de rang

[9],[10],[11].

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en)/(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu des articles intitulés en anglais « Kurosh subgroup theorem » (voir la liste des auteurs) et en allemand « Untergruppensatz von Kurosch » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ Aleksandr G. Kurosh, « Die Unterprodukte der freien Produkte von beliebigen Gruppen », Mathematische Annalen, vol. 109,‎ , p. 647-660 (lire en ligne).
  2. ↑ Harold W. Kuhn, « Subgroup theorems for groups presented by generators and relations », Annals of Mathematics (2), vol. 56,‎ , p. 22-46.
  3. ↑ Saunders Mac Lane, « A proof of the subgroup theorem for free products », Mathematika, vol. 5,‎ , p. 13–19.
  4. ↑ Abraham Karrass et Donald Solitar, « The subgroups of a free product of two groups with an amalgamated subgroup », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 150,‎ , p. 227–255.
  5. ↑ Abraham Karrass et Donald Solitar, « Subgroups of HNN groups and groups with one defining relation », Journal canadien de mathématiques, vol. 23,‎ , p. 627–643.
  6. ↑ (ru) Pavel Aleksandrovich Zalesskii, « Open subgroups of free profinite products over a profinite space of indices », Doklady Akademii Nauk SSSR, vol. 34, no 1,‎ , p. 17–20
  7. ↑ Peter Nickolas, « A Kurosh subgroup theorem for topological groups », Proceedings of the London Mathematical Society (3), vol. 42, no 3,‎ , p. 461–477 (MR 0614730).
  8. ↑ Daniel E. Cohen, Combinatorial group theory: a topological approach, Cambridge University Press, coll. « London Mathematical Society Student Texts » (no 14), (ISBN 0-521-34133-7 et 0-521-34936-2).
  9. ↑ Derek John Scott Robinson, A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag, (ISBN 978-1-4612-6443-9), Theorem 6.3.1.: The Kuroš Subgroup Theorem.
  10. ↑ Wilfried Imrich, Combinatorial Mathematics V : Subgroups and Graphs, Springer Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (no 622),   Chapitre 9 : The Kurosh Subgroup Theorem.
  11. ↑ Wilhelm Specht, Gruppentheorie, Springer-Verlag, , Kapitel 2.2.2, Satz 8.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

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